第01讲 5.1导数的概念及其几何意义（5类热点题型讲练）-【帮课堂】2023-2024学年高二数学同步学与练（人教A版2019选择性必修第二册）

第01讲 5.1导数的概念及其几何意义 课程标准 学习目标 ①初步了解导数概念的背景，掌握平均变化率与瞬时变化率的概念及几何意义。 ②会求函数的平均变率与瞬时变化率。 ③能结合实际问题求曲线在某点处与某点附近点的切线与割线的斜率的极限值。 通过本节课的学习，要求会求函数的平均变化率与瞬时变化率. 知识点01：函数的平均变化率 1、定义：一般地，函数在区间上的平均变化率为：，表示为函数从到的平均变化率，若设,则平均变化率为 2、求函数的平均变化率通常用“两步”法： ①作差：求出和 ②作商：对所求得的差作商，即. 【即学即练1】（2023·全国·高二课堂例题）已知函数，，分别计算它们在区间，上的平均变化率． 【答案】3；3；-3；6 【详解】函数在上的平均变化率为． 函数在上的平均变化率为． 函数在上的平均变化率为． 函数在上的平均变化率为． 3、平均变化率的几何意义 平均变化率如图：表示直线的斜率。 知识点02：函数在处的导数（瞬时变化率） 1、定义：函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数,记作. 【即学即练2】（2023·全国·高二随堂练习）已知函数，求自变量x在以下的变化过程中，该函数的平均变化率： （1）自变量x从1变到1.1； （2）自变量x从1变到1.01； （3）自变量x从1变到1.001． 估算当时，该函数的瞬时变化率． 【答案】（1）；（2）；（3）； 【详解】（1）因为， 所以， 所以自变量x从1变到1.1的平均变化率为； （2）， 所以自变量x从1变到1.01的平均变化率为； （3）， 所以自变量x从1变到1.001的平均变化率为； 所以可估算当时，的瞬时变化率为，证明如下： 而，则， 所以在处的瞬时变化率为. 2、定义法求导数步骤： 1 求函数的增量：； 2 求平均变化率：； 3 求极限，得导数：. 知识点03：导数的几何意义 如图,在曲线上任取一点,如果当点沿着曲线无限趋近于点时,割线无限趋近于一个确定的位置,这个确定位置的直线称为曲线在点处的切线.则割线的斜率 【即学即练3】（2023·高二课时练习）已知函数，当时， ． 【答案】1 【详解】因为， 所以， 所以当时，， 故答案为：1 知识点04：曲线的切线问题 1、在型求切线方程 已知：函数的解析式.计算：函数在或者处的切线方程. 步骤：第一步：计算切点的纵坐标（方法：把代入原函数中），切点. 第二步：计算切线斜率. 第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率。 根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 【即学即练4】（2023上·高二课时练习）已知，求曲线在点处的切线方程． 【答案】 【详解】根据题意，先由导函数定义求曲线在点处切线的斜率： 当时，，从而当h趋近于0时，． 因此，曲线在点处切线的斜率为0． 根据直线的点斜式方程为，即； 于是，所求切线方程为． 2、过型求切线方程 已知：函数的解析式.计算：过点（无论该点是否在上）的切线方程. 步骤：第一步：设切点 第二步：计算切线斜率；计算切线斜率； 第三步：令：，解出，代入求斜率 第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 【即学即练5】（2023·高二单元测试）试求过点且与曲线相切的直线的斜率． 【答案】或6 【详解】设切点坐标为，则有． 因为，所以． 切线方程为，将点代入，得， 所以，得或． 当时，；当时，． 所以所求直线的斜率为或6． 题型01 求物体运动的平均速度(含平均变化率） 【典例1】（2023下·河南新乡·高二统考期中）某物体沿直线运动，其位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，则在这段时间内，该物体的平均速度为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2023下·江西九江·高二校联考期中）某汽车在平直的公路上向前行驶，其行驶的路程与时间的函数图象如图.记该车在时间段，，，上的平均速度的大小分别为，，，，则平均速度最小的是（    ）    A． B． C． D． 【变式1】（2023下·辽宁阜新·高二校联考阶段练习）函数在区间上的平均变化率为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2023·全国·高二课堂例题）某物体做自由落体运动，其运动方程为，其中t为下落的时间（单位：s），g为重力加速度，大小为9.8m/s2．求它在时间段内的平均速度． 题型02 求物体运动的瞬时速度（含瞬时变化率） 【典例1】（2023下·宁夏银川·高二宁夏育才中学校考阶段练习）在高台跳水运动中，时运动员相对于水面的高度单位：）是，则运动员在时的瞬时速度为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2023·河南·高二校联考阶段练习）函数在区间上的平均变化率等于时的瞬时变化率，则（    ） A． B．1 C．2 D． 【