串讲01 充要条件（考点串讲）-【中职专用】2023-2024学年高二数学上学期期末考点大串讲（高教版2021）

串讲01 充要条件 一、知识网络 二、常考题型 三、知识梳理 1、命题：可以判断真假的陈述句叫命题，判断为真的命题称为真命题，判断为假的命题称为假命题. 一般地, 对于形如“如果p,那么q”的命题, 我们称p为命题的条件, 简称条件; 称q为命题的结论，简称结论． 将命题“如果p，那么q”中的条件p和结论q互换，变成“如果q，那么p”，称这个命题为原命题的逆命题. 2、充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且q⇏p p是q的必要不充分条件 p⇏q且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 p⇏q且q⇏p 3、若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则由A⊆B可得，p是q的充分条件，请写出集合A，B的其他关系对应的条件p，q的关系． ①若AB，则p是q的充分不必要条件； ②若A⊇B，则p是q的必要条件； ③若AB，则p是q的必要不充分条件； ④若A＝B，则p是q的充要条件； ⑤若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件． 四、常考题型探究 考点一 充分条件 例1．已知p：x2－x<0，那么命题p的一个充分条件是(　D　) A．1<x<3　　 B．－1<x<1 C．<x<5　　 D．<x< [解析]　x2－x<0，∴0<x<1， ∵<x<⇒0<x<1， ∴p的一个充分条件为<x<. 例2．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用三角函数值即可求得对应的角的取值，可得出结论. 【详解】根据题意由可得，则， 即充分性成立， 若可得，此时或，显然必要性不成立； 所以“”是“”的充分不必要条件, 故选：A 例3．已知直线：，：，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由直线平行的判断方法分析“”和“”的关系，结合充分必要条件的定义分析可得答案. 【详解】直线：，：， 若，则有，解得， 经检验，当时，直线不重合，符合， 则时，满足，而时，不能得到， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 例4．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用对数的换底公式得到，再利用对数的性质和充要条件的定义求解即可. 【详解】且， 当时，则， 当时，则， ， 当时，则，. 是的充分不必要条件. 故选：A. 【变式探究】1.判断p：“|x－2|≤5”是q：“x≥－1或x≤5”的什么条件，说明理由． [解析]　p是q的充分条件． 因为p：|x－2|≤5的解集为P＝{x|－3≤x≤7}； q：x≥－1或x≤5就是实数集R. 所以P⊆R，也就是p⇒q， 故p是q的充分条件． 2．在平面直角坐标系中，角以为始边，则“角的终边过点”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据三角函数的定义即可判断. 【详解】当角的终边过点时，根据三角函数的定义，可得，充分性成立； 当时，为第二象限角或第四象限角，若为第四象限角，则角的终边不过点，必要性不成立. 所以“角的终边过点”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3．设，则“”是“直线与直线平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据直线平行的条件和充分必要条件的概念可判断结果. 【详解】因为直线与直线平行的充要条件是且，解得或． 所以由充分必要条件的概念判断可知：“”是“直线与直线平行”的充分不必要条件， 故选：A 4“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据条件得到的大小关系，结合充要条件进一步判断即可. 【详解】因为，所以， 而， 所以“”是“”的充分不必要条件． 故选： 考点二 必要条件 例1．“b2＝ac”是“a，b，c成等比数列”的__必要__条件．(填“充分”或“必要”) [解析]　a，b，c成等比数列⇒b2＝ac. 例2．已知，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件、必要条件的定义即可判断命题. 【详解】当时，，但，则命题p推不出命题q； 当时，，则命题q推出命题p， 所以命题p是命题q的必要不充分条件. 故选：B. 例3．“”是“”的（