第2章 二次函数（压轴题专练）-2023-2024学年九年级数学下册单元速记·巧练（北师大版）

第2章 二次函数（压轴题专练） 目录： 题型1：存在性问题 题型2：最值问题 题型3：动态问题 题型4：定点、定值问题 题型5：取值范围问题 题型6：取解直角三角形在二次函数中的应用 题型1：存在性问题 1．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点，与x轴的另一交点为点B，点P为抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当的面积与的面积相等时，求点P的坐标； (3)是否存在点P，使得，若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图①，在平面直角坐标系中．抛物线与轴交于，两点点在点右侧，，与轴交于点．直线经过点，．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图②，点为上方抛物线上一点，过点作轴交直线于点，作轴交直线于点，求周长的最大值； (3)在(2)的条件下，若点是轴上的动点，点为平面内一点，是否存在点，，使得以，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，抛物线交轴于点、(点在点的左侧)，与轴交于点，点、的坐标分别为，，对称轴交轴于，点为抛物线顶点．    (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线下方的抛物线上一点，且．求的坐标； (3)为抛物线对称轴上一点，是否存在以、、为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 4．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上．    (1)求抛物线的解析式； (2)点在第一象限内，过点作轴，交于点，作轴，交抛物线于点，点在点的左侧，以线段为邻边作矩形，当矩形的周长为11时，求线段的长； (3)点在直线上，点在平面内，当四边形是正方形时，请直接写出点的坐标． 题型2：最值问题 5．如图，已知二次函数的图象与轴交于点和点，与轴相交于点．    (1)求该二次函数的解析式； (2)点在线段上运动，过点作轴的垂线，与交于点，与抛物线交于点． ①连接，，当四边形的面积最大时，求此时点的坐标和四边形面积的最大值； ②探究是否存在点使得以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 6．如图，抛物线的图象经过，，三点，且一次函数的图象经过点B．    (1)求抛物线和一次函数的解析式； (2)点E，F为平面内两点，若以E、F、B、C为顶点的四边形是正方形，且点E在点F的左侧．这样的E，F两点是否存在？如果存在，请直接写出所有满足条件的点E的坐标；如果不存在，请说明理由； (3)将抛物线的图象向右平移8个单位长度得到抛物线，此抛物线的图象与x轴交于M，N两点（M点在N点左侧）．点P是抛物线上的一个动点且在直线下方．已知点P的横坐标为m．过点P作于点D，求m为何值时，有最大值，最大值是多少？ 7．如图，抛物线上的点，，抛物线与x轴负半轴交于点B，点M为y轴负半轴上一点，且，连接、． (1)点M的坐标为_______． (2)求此抛物线的解析式． (3)点P是抛物线位于第一象限图象上的动点，连接、，当时，点P的横坐标为______． (4)将抛物线沿x轴的负方向平移个单位长度，得到新抛物线，点C的对应点为点，在抛物线平移的过程中， ①当点在线段上时，m的值为______． ②当的值最小时，直接写出m的值． 8．新定义：已知y是x的函数，若函数图象上存在一点．则称点P为函数图象上的“朴实点”．例如：直线上存在的“朴实点”是． (1)判断直线上是否有“朴实点”？若有，直接写出其坐标；若没有，请说明理由； (2)若抛物线上存在两个“朴实点”，两个“朴实点”之间的距离为，求k的值； (3)若二次函数的图象上存在唯一的“朴实点”，且当时，n的最小值为，求t的值． 题型3：动态问题 9．如图，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，对称轴为，且．    (1)求抛物线的解析式； (2)若点为轴上一点， 点为抛物线顶点，连接，若为等腰三角形，求点的坐标； (3)点在抛物线的对称轴上，若线段绕点逆时针旋转后，点的对应点恰好也落在此抛物线上，求点的坐标． 10．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过A，B两点，且与x轴的负半轴交于点C．    (1)求该抛物线的解析式； (2)P为直线上方抛物线上的一点，过点P作于点Q，求的最大值； (3)若点D为直线上方抛物线上的一个动点，当时，求点D的坐标． 11．如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． (1)直接写出抛物线的解析式； (2)已知点P是坐标平面内一点，若线段关于点P的对称线段（点，分别是点O，A的对称点）的两个端点恰好都落在该抛物线上，求点P的坐标； (3)若点M为x轴上一动点，将线段绕点M逆时针旋转得到线段，试探究是否存在点M，使点D恰好落在该抛物线上