专题五 极限的初步概念及在物理学中的应用 讲义 -2023-2024学年高一上学期物理初升高衔接

专题五 极限的初步概念及在物理学中的应用 1． 从平均速度谈起 速度是描述物体运动快慢的物理量。初中物理中定义为：，式中s表示物体在一段时间内的路程。在高中阶段，速度的定义为位移与所用时间的比值。当所取的时间为一段时间时，这样定义的速度叫平均速度，它只能粗略地描述物体运动的快慢。如，百米赛跑中，运动员的成绩是12s，那么他的平均速度经计算后得出8.33m/s。这个速度既不说明他起跑的速度，也不不能说明他冲线的速度。所以，求出的这个速度只是一个粗略的计算。相当于如果把全程当做是匀速运动，速度才能8.33m/s。 那么，我们如果想知道他的起跑速度怎么办呢？我们可以在他起跑后测出他运动5m对应的时间来计算速度。这个速度一定比上面求出的速度更加接近他起跑时的快慢。当然这个速度还是较粗略的。按这个思路，我们可以取起跑后1m 所用的时间来计算速度，就会更加接近实际情况。依次类推，当所取的时间越短，所求的速度就越能准确地表示物体在某一时刻的运动快慢。 下面我们以一个具体的运动为例来研究某一时刻的速度。 假如一个物体运动的位移s与经过的时间的关系是：,我们求1s末运动的速度。 从上面表达式中，我们知道当t=1时，s=6m。这表示物体这时物体位置坐标是在6m处。我们从t=1开始分别计算再经过0.2s，0.1s,0.01s,0.001s的位移，再分别计算相应的速度，从计算结果可以看出什么？ 广义的“极限”是指“无限靠近而永远不能到达”的意思。数学中的“极限”指：某一个函数中的某一个变量，此变量在变大（或者变小）的永远变化的过程中，逐渐向某一个确定的数值A不断地逼近而“永远不能够重合到A”（“永远不能够等于A，但是取等于A‘已经足够取得高精度计算结果）的过程中，此变量的变化，被人为规定为“永远靠近而不停止”、其有一个“不断地极为靠近A点的趋势”。极限是一种“变化状态”的描述。此变量永远趋近的值A叫做“极限值”（当然也可以用其他符号表示）。 物理中我们可以根据极限定义瞬时速度的概念。 二．瞬时速度 1.瞬时速度表示物体在某一时刻或某一位置时运动的快慢。 () 瞬时速度是对物体运动快慢的精确描述。由于瞬时速度是时间趋近于零时平均速度的极限值 ，所以瞬时速度也叫位移的瞬时变化率。 我们可以用打点计时器来测物体运动的瞬时速度。 中学有两种打点计时器：电磁打点计时器、电火花计时器 电磁打点计时器利用电磁原理打点计时的一种仪器（与电铃的工作原理类似），纸带上打点的是振针和复写纸。电火花计时器原理与电磁打点计时器相同，是利用火花放电和墨粉在纸带上打出小孔而显示点迹的计时仪器。 电火花计时器比电磁打点计时器更精确，实验误差小。 实验原理：两种打点计时器（电磁打点计器和电火花计时器）接通50 Hz的交流电时，打点时间间隔都是0.02s；当纸带跟运动物连在一起时，打点计器打在纸带上的点的间隔就表示相应时间间中物体的位移，根据平均速度的定义式，当很短时，可以认为计算结果等于t时刻的瞬时速度。 【例题1】在使用电磁打点计时器时，若纸带上出现了以下情况是什么原因？应如何调节？ （1）打点不清楚；(2)打的点是短线； 【例题2】电磁打点计时器是一种使用交流电源的计时仪器，根据打点计时器打出的纸带，我们不用公式计算可以从纸带上直接得到的物理量是 A.时间间隔 B ．位移 C．瞬时速度 D.平均速度 思考：上面速度的定义使我们学会了如何描述一个物理量变化快慢。用物体运动的位移与所用时间的比值来描述物体运动的快慢。那么我们能不能用同样的方法描述物体做变速运动时速度变化的快慢呢？ 依照速度的定义，我们可以用速度的变化量与所用时间的比值来表示速度变化的快慢。物理学中把这个比值定义为加速度。 三．加速度 1.物理意义：反映运动物体速度变化快慢的物理量。 2.定义：速度的变化与发生这一变化所用的时间的比值。 3.公式： 式中vt表示一段时间的末速度，v0表示一段时间的初速度 4.加速度是矢量。当加速度恒定不变时，加速度的方向与速度的变化量的方向相同。 5.速度是矢量，遵从矢量运算法则。物体在一条直线上运动时，我们可以建立一个坐标轴，得出初末速度的正负号，然后代入计算。 注意： 1.加速度与速度是完全不同的物理量，加速度是速度的变化率。所以，两者之间并不存在“速度大加速度也大、速度为0时加速度也为0”等关系，加速度和速度的方向也没有必然相同的关系，加速直线运动的物体，加速度方向与速度方向相同；减速直线运动的物体，加速度方向与速度方向相反。 2.加速度与速度变化量也是完全不同的物理量。。越大，加速度并不一定越大，还要看所用的时间的多少。 【例题3】某物体A在2s内由静止加速到10m/s，另一物体B在2s内由静止加速