立体几何专题训练-2023-2024学年高二数学上学期 选择性必修第一册（人教A版2019）含答案解析

2023—2024学年度高二上学期数学 立体几何专题训练 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、解答题 1．如图，在多面体中，正三角形所在平面与菱形所在的平面垂直，平面，且. (1)判断直线平面的位置关系，并说明理由； (2)若，求二面角的余弦值. 2．在如图所示的四棱锥中，四边形为矩形，平面，为的中点.    (1)证明：平面； (2)若，，求平面与平面的夹角的余弦值. 3．如图，长方体中，，，若在上存在点，使得平面. （1）求的长； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 4．如图，在四棱锥中，平面，，E为的中点，点F在棱上，满足∥平面． (1)求的值； (2)求直线与平面夹角的正弦值． 5．如图所示，在等腰直角三角形中，，为的中点，点在上，且，现沿将折起到的位置，使，点在上，且. (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值. 6．如图，在四棱锥中，底面，底面为直角梯形，，，，，是的中点. （1）证明：平面； （2）求二面角的大小. 7．如图，且且且平面． （1）若为的中点，为的中点，求证：平面； （2）求二面角的正弦值； （3）求直线到平面的距离． 8．如图，四棱锥，，，，为等边三角形，平面平面ABCD，Q为PB中点． (1)求证：平面平面PBC； (2)求平面PBC与平面PAD所成二面角的正弦值． 9．如图，三棱柱中，侧面，已知，，点E是棱的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 10．如图，在三棱柱中，，点为棱的中点，且，侧面为菱形，且． (1)求证：； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 11．如图，在正方体中，，分别为，的中点.证明：    (1)平面平面； (2)平面. 12．如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，底边，，棱，M，N分别线段、的中点. （1）求； （2）求. 13．如图，在平行六面体中，，，，，，且点F为与的交点，点E在线段上，有. (1)求的长； (2)将用基向量来表示，设，求的值. 14．如图，四棱锥，其中为正方形，底面，，，分别为，的中点，，在棱，上，且满足，. (1)求证：直线与直线相交； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 15．如图，在四棱柱中，平面，底面满足且. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离. 16．如图，正方体的棱长为4，M，N，P，Q分别为棱的中点，平面与平面将该正方体截成三个多面体．    (1)求平面与平面所成夹角的余弦值的大小； (2)求多面体的体积． 17．如图，以长方体的顶点为坐标原点，是的中点，是的中点．过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，已知． (1)分别写出点、点和的坐标； (2)求到平面的距离； (3)若点是棱上一个动点，是否存在点使得为一个等腰三角形？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 18．如图，在直角中，PO⊥OA，PO=2OA，将绕边PO旋转到的位置，使，得到圆锥的一部分，点C为的中点． (1)求证：； (2)设直线PC与平面PAB所成的角为，求． 19．如图，已知菱形的边长为6，，将菱形沿对角线折起，使，得到三棱锥. （1）若，求证：直线与平面不平行； （2）设点N是线段上一个动点，试确定N点的位置，使得，并证明你的结论. 20．如图，四边形是正方形，平面，，，，F为的中点． (1)求证：平面； (2)求二面角的大小． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．(1)平行，理由见解析 (2) 【分析】（1）过点作于点，连接，通过计算可得，四边形为平行四边形，再由线面平行的判定定理可得答案； （2）以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法求得二面角的余弦值． （1） 直线与平面平行，理由如下： 如图，过点作于点，连接，因为在正三角形中，， 所以，因为平面平面，平面平面， 所以平面，因为平面，所以， 又因为，所以四边形为平行四边形，所以， 平面，平面， 平面平面. （2） 如图，连接，由（1）可得为的中点，又， 故为等边三角形，所以. 又平面，故两两垂直，以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系. 则, 所以， 设平面的法向量为，则，即， 取，则是平面的一个法向量， 设平面的法向量为， 则，即， 取，得是平面的一个法向量. 所以， 由图可知二面角为钝角，故二面角的余弦值是. 2．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意，由线面平行的判定定理即可证明； （2）根据题意，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，即可得到结果.