专题28 中点弦及点差法的8种常见考法归类 - 【考点通关】2023-2024学年高二数学高频考点与解题策略(人教A版2019选择性必修第一册)

专题28 中点弦及点差法的8种常见考法归类 1、椭圆与双曲线的中点弦与点差法 （1）根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决； （2）点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系， 具体如下：已知弦是椭圆（）的一条弦，中点坐标为，则的斜率为，运用点差法求的斜率，设，；、都在椭圆上， 两式相减得：， 即 ，故 （2）弦的斜率与弦中心和椭圆中心的连线的斜率之积为定值：. （3）双曲线的用点差法同理，可得(焦点在轴上） 2、抛物线的中点弦与点差法 3、 点差法在圆锥曲线中的理论 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 中点弦所在直线的斜率与方程 考点二 由弦中点求弦长 考点三 求圆锥曲线的方程问题 考点四 求圆锥曲线的离心率问题 考点五 弦中点的坐标问题 考点六 求弦中点的轨迹方程问题 考点七 曲线上两点关于直线对称问题 考点八 弦中点存在性问题 考点一 中点弦所在直线的斜率与方程 1．（2023上·贵州黔东南·高三天柱民族中学校联考阶段练习）已知椭圆以及椭圆内一点，则以为中点的弦所在直线的斜率为（    ） A． B． C．-4 D．4 2．（2023上·河南平顶山·高二统考期末）已知双曲线C：的焦点到渐近线的距离为，直线l与C相交于A，B两点，若线段的中点为，则直线l的斜率为（    ） A． B．1 C． D．2 3．（2023上·新疆伊犁·高二统考期末）过椭圆内一点引一条恰好被点平分的弦，则这条弦所在直线的方程是 4．（2024上·内蒙古呼和浩特·高三统考开学考试）设A，B为双曲线上的两点，若线段AB的中点为，则直线AB的方程是（    ） A． B． C． D． 5．（2023上·宁夏·高二六盘山高级中学校考期中）已知为抛物线上的两点，且线段AB中点的纵坐标为2，则直线AB的斜率为 . 6．（2023上·福建龙岩·高二校联考期中）已知椭圆，过点的直线与交于两点，且为的中点，则的方程为（    ） A． B． C． D． 7．（2023上·江苏连云港·高二校考阶段练习）已知抛物线，过点的直线交抛物线于两点，若为的中点，则直线的方程为 . 8．（2023上·重庆·高二重庆市育才中学校考期中）已知直线与双曲线交于、两点，若弦的中点为，则直线的方程为 . 9．（2023上·湖北·高二随州市曾都区第一中学校联考期中）已知直线与椭圆在第一象限交于两点，与轴、轴分别交于，两点，且，，则的方程为 ． 10．（2023上·福建福州·高三福建省福州格致中学校考期中）已知椭圆的离心率为，椭圆上的点到焦点的最小距离是3． (1)求椭圆的方程； (2)是否存在过点的直线交曲线于两点，使得为中点？若存在，求该直线方程，若不存在，请说明理由． 11．（2023下·甘肃白银·高二统考开学考试）已知椭圆的离心率为，是上一点． (1)求的方程； (2)设，是上两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程． 12．（2023上·四川资阳·高二四川省资阳中学校考期中）过点作斜率为的直线与椭圆相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则的值为（    ） A． B． C． D． 13．（2023下·四川巴中·高三校考期末）若直线y=kx+1与双曲线交于A､B两点，且线段AB的中点横坐标为1，则实数k= ． 14．（2023下·安徽安庆·高二安徽省宿松中学校考开学考试）已知双曲线与直线相交于A、B两点，弦AB的中点M的横坐标为，则双曲线C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 考点二 由弦中点求弦长 15．（2023上·河北·高二校联考期中）已知P是圆C：上一动点，过P作x轴的垂线，垂足为Q，点M满足，记点M的轨迹为E． (1)求E的方程； (2)若A，B是E上两点，且线段AB的中点坐标为，求的值． 16．（2023上·高二课时练习）若椭圆的弦的中点为，则弦的长为（　　） A． B． C． D． 17．（2023下·上海长宁·高二校考期中）已知抛物线与过焦点的一条直线相交于A，B两点，若弦的中点M的横坐标为，则弦的长 18．（2023·全国·模拟预测）已知双曲线的实轴长为4，离心率为，直线与交于两点，是线段的中点，为坐标原点．若点的横坐标为，则的取值范围为 ． 19．（2023上·陕西西安·高二长安一中校考期末）设经过点的直线与抛物线相交于，两点，若线段中点的