5.1 导数的概念及其意义-2023-2024学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（人教A版2019选择性必修第二册）

5.1导数的概念及其意义 【考点梳理】 考点一：瞬时速度的定义 (1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度． (2)一般地，设物体的运动规律是s＝s(t)，则物体在t0到t0＋Δt这段时间内的平均速度为＝.如果Δt无限趋近于0时，无限趋近于某个常数v，我们就说当Δt无限趋近于0时，的极限是v，这时v就是物体在时刻t＝t0时的瞬时速度，即瞬时速度v＝ ＝ . 考点二：函数的平均变化率 对于函数y＝f(x)，设自变量x从x0变化到x0＋Δx，相应地，函数值y就从f(x0)变化到f(x0＋Δx)．这时，x的变化量为Δx，y的变化量为Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)．我们把比值，即＝叫做函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率． 考点三：函数在某点处的导数 如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f′(x0)或，即f′(x0)＝ ＝ . 考点四：导数的几何意义 1．割线斜率与切线斜率 设函数y＝f(x)的图象如图所示，直线AB是过点A(x0，f(x0))与点B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))的一条割线，此割线的斜率是＝. 当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的极限位置为直线AD，直线AD叫做此曲线在点A处的切线．于是，当Δx→0时，割线AB的斜率无限趋近于过点A的切线AD的斜率k，即k＝f′(x0)＝ . 2．导数的几何意义 函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是f′(x0)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 考点五：导函数的定义 从求函数f(x)在x＝x0处导数的过程可以看出，当x＝x0时，f′(x0)是一个唯一确定的数．这样，当x变化时，y＝f′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f(x)的导函数(简称导数)．y＝f(x)的导函数记作f′(x)或y′，即f′(x)＝y′＝ . 规律总结： 区别 联系 f′(x0) f′(x0)是具体的值，是数值 在x＝x0处的导数f′(x0)是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值，因此求函数在某一点处的导数，一般先求导函数，再计算导函数在这一点的函数值 f′(x) f′(x)是函数f(x)在某区间I上每一点都存在导数而定义的一个新函数，是函数 【题型归纳】 题型一：函数的平均变化率 1．（2023下·福建泉州·高二校联考期中）已知点在函数的图象上，若函数在上的平均变化率为，则下面叙述正确的是（    ） A．直线的倾斜角为 B．直线的倾斜角为 C．直线的斜率为 D．直线的斜率为 2．（2023下·四川成都·高二校考阶段练习）在曲线 的图象上取一点及邻近一点， 则为（    ） A． B．2 C． D． 3．（2022·高二课时练习）函数在区间上的平均变化率为，在区间上的平均变化率为，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．不能确定 题型二：瞬时变化率理解 4．（2023下·北京丰台·高二统考期中）设某质点的位移（单位：）与时间（单位：）的关系是，则质点在第时的瞬时速度等于（    ） A． B． C． D． 5．（2023下·湖北黄冈·高二校联考期中）已知质点M在平面上作变速直线运动，且位移S（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系可用函数：表示，则该质点M在时的瞬时速度为（    ） A． B． C． D． 6．（2023下·山东枣庄·高二滕州市第一中学新校校考阶段练习）一质点做直线运动，其位移与时间的关系为，设其在内的平均速度为，在时的瞬时速度为，则（    ） A． B． C． D． 题型三：导数（导函数）的理解 7．（2023下·陕西渭南·高二校考期中）若函数在处的瞬时变化率为，且，则（    ） A．2 B．4 C． D． 8．（2023下·重庆·高二统考期末）若函数的满足，则（    ） A．2 B．1 C．0 D． 9．（2023下·四川绵阳·高二四川省绵阳南山中学校考阶段练习）设函数在处可导，若，则（    ） A．3 B．6 C．8 D．12 题型四：导数定义中的极限的简单计算 10．（2023下·广东东莞·高二校联考阶段练习）设函数，则（    ） A． B． C． D． 11．（2023下·福建宁德·高二校联考期中）已知函数，则时，的值趋近于（    ） A．2a B． C． D． 12．（2023下·上海闵行·高二上海市七宝中学校考期中）若函数在处导数为，则等于（    ） A． B． C． D． 题型五：利用导数几何意义求斜率