1.4.1用空间向量研究位置关系课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

点、线段和平面图形等是组成空间几何体的基本元素. 因此，为了用空间向量解决立体几何问题，首先要用向量表示空间中的点、直线和平面. 1.4.1 用空间向量研究位置关系1 学校：仁寿县第一中学北校区 姓名：周扬 思考1.如何用向量表示空间中的一个点？ 在空间中，我们取一定点O 作为基点，那么空间中任意一点P 的位置就可以用向量 来表示. 我们把向量 称为点P 的位置向量. 思考2. 我们知道，空间中给定一个点A 和一个方向就能唯一确定一条直线l，如何用向量表示直线 l ？ 如图， 是直线l 的方向向量，在l 上取 ，设P 是直线l 上的任意一点，由向量共线的条件可知，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，使得 即 进一步地，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l 上的充要条件是存在实数t ，使 ①和②都称为空间直线的向量表示式，空间任意直线由空间一点及直线的方向向量唯一确定. 将 代入①式得 空间中直线的向量表示： 已知直线上两点，如何求直线的方向向量？ 一般地，若已知直线上两点 ，则直线的一个方向向量为 练习： 已知直线l 上两点A(1，4，3)，B(2，2，5)，请写出直线l 的一个方向向量___________ 练习 思考3. 一个定点和两个定方向能否确定一个平面？ 空间中平面的向量表示： 这样，点O与向量 ， 不仅可以确定平面α ，还可以具体表示出α 内的任意一点. 我们知道，平面α 可以由α 内两条相交直线确定. 如图，设两条直线相交于点O，它们的方向向量分别为 和 ，P为平面α 内任意一点，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序数对(x，y)，使得 . 进一步地，如图，取定空间任意一点O，可以得到，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y使 ， 也即 我们把③式称为空间平面ABC的向量表示式. 由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定. 我们知道，给定空间一点A和一条直线l， 则过点A且垂直于l 的平面是唯一确定的. 由此， 我们可以利用点A和直线l 的方向向量来确定平 面. 如图，直线l⊥α，取直线 l 的方向向量 ， 则向量 叫做平面的法向量. 给定一点A和一个向量 ，那么过点A，以向量 为法向量的平面是完全确定的，可以表示为集合 . 注意：1.法向量一定是非零向量 2.一个平面的所有法向量都互相平行 思考4. 进一步地，一个定点和一个定方向，能否确定一个平面？ 如何求平面的法向量？ (1)设出平面的法向量为 (2)找出平面内的两个不共线的向量的坐标 (3)根据法向量的定义建立关于x，y，z的方程组 (4)解方程组，取其中一个解，即得法向量. 例1.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2，M是AB的中点. (1)求平面BCC1B1的一个法向量； (2)求平面MCA1的一个法向量. 练习巩固 练习巩固 我们知道，直线的方向向量和平面的法向量是确定空间中的直线和平面的关键量. 那么是否能用这些向量来刻画空间直线、平面的平行、垂直关系呢？ 直线与直线的平行 如图，设 ， 分别是直线 l1，l2 的方向向量. 由方向向量的定义可知，如果两条直线平行，那么它们的方向向量一定平行；反过来，如果两条直线的方向向量平行，那么这两条直线也平行. 所以 直线与平面的平行 如图，设 是直线l 的方向向量， 是平面α 的法向量， ，若l 与α 平行，则 A B C D D1 A1 B1 C1 x y z P 建系 设点 取向量 列方程组 取解 得法向量 A B C D D1 A1 B1 C1 x y z P 练习.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,PB与底面所成的角为45°,底面ABCD为直角梯形,∠ABC=∠BAD=90°,PA=BC= AD=1,问在棱PD上是否存在一点E,使CE∥平面PAB?若存在,求出E点的位置;若不存在,请说明理由. 练习巩固 解:存在点E使CE∥平面PAB. 以A为坐标原点,分别以AB,AD,AP所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系Axyz, ∴P(0,0,1),C(1,1,0),D(0,2,0), 练习巩固 平面与平面的平行 如图