8.2单总体参数的区间估计（课件）-《统计基础》同步教学（西南财经大学出版社）

第八章 参数估计 第一节 参数估计的一般问题 第二节 单总体参数的区间估计 第三节 样本容量的确定 本章内容 第二节 单总体参数的区间估计 一、总体均值的区间估计 （一）大样本的估计方法 1.样本均值经过标准化以后的随机变量则服从正态分布， 2.总体均值所在（1-α）置信水平下的置信区间为： 称为置信下限， 称为置信上限。 例1：一家食品生产企业以生产袋装食品为主，为对产量质量进行监测，企业质检部门经常要进行抽检，以分析每袋重量是否符合要求。现从某天生产的一批食品中随机抽取了25 袋，测得每袋重量如表8-3所示。已知产品重量的分布服从正态分布，且总体标准差为10 g。试估计该批产品平均重量的置信区间，置信水平为95%。 表8-3 25袋食品的重量 单位：g 即该批食品平均重量95%的置信区间为101.44～109.28 g。 利用Excel来计算置信区间 1.将样本数据输入Excel工作表中A1︰E5 2.计算样本均值。点击粘贴函数“fx”，选择“统计”下的“AVERAGE”函数。在出现的“函数参数”对话框中，“Number1”一栏填入样本数据所在区域A1︰E5，然后“确定”，在输出区域内（本例放置在F1）得结果105.36，此即样本均值。 3.计算样本标准差,选择的函数为“统计”下的“STDEV”函数。本例放在G1,得结果9.6545。 4.计算允许误差。选择“统计”下的“CONFIDENCE”函数，在出现的“函数参数”对话框中，“Alpha”一栏填入显著性水平“0.05”，“Standard_dev”一栏填入总体标准差“G1”（大样本情况下，可用样本标准差代替），“Size”一栏填入样本容量“25”，然后“确定”，在输出区域内得允许误差“3.784490”（取近似值3.78）。 5.置信下限为105.36－3.78＝101.58，置信上限为105.36＋3.78＝109.14，即置信区间为（101.58，109.14）g。 （二）小样本的估计方法 总体方差σ2未知，而且是在小样本的情况下，则需要用样本方差S2代替σ2，这时样本均值经过标准化以后的随机变量则服从自由度为（n-1）的t分布，即： t 分布是类似正态分布的一种对称分布，它通常要比正态分布平坦和分散。一个特定的分布依赖于称之为自由度的参数。随着自由度的增大，分布也逐渐趋于正态分布，如图8-7和图8-8所示： 图8-7 t分布与标准正态分布的比较 图8-8 不同自由度的t分布 总体均值  在1-置信水平下的置信区间为： 式中：tα/2是自由度为n-1时，t分布中上侧面积为α/2时的临界值，该值可通过t分布表查得。 利用Excel中的TINV统计函数 计算t分布临界值 t分布临界值可通过Excel中的TINV统计函数来计算。点击粘贴函数“fx”，选择“统计”下的“TINV”函数。在对话框中，“Probability”一栏填入显著性水平（本例为0.05），“Deg_freedom”填入自由度（本例为15），然后“确定”。得结果“2.13145”，此即t分布的临界值。 例2：已知某种灯泡的寿命服从正态分布，现从一批灯泡中随机抽取16只，测得其使用寿命如表8－5所示。建立该批灯泡平均使用寿命95%的置信区间。 表8－5 16只灯泡使用寿命数据 单位：h 解：根据样本数据，计算样本均值=1490 h，样本方差S=24.77 h 根据α=0.05查t分布表得（n-1）=t0.025 (15)=2.131 于是，平均使用寿命的置信区间为： 即全部灯泡的平均使用寿命，在置信水平1－α＝0.95下的置信区间为（1476.8，1503.2）h。 总结： 表8-6 总体均值的区间估计 二、总体比例的区间估计 1. 样本比例经标准化后的随机变量则服从正态分布，即： 2. 总体比例在1-置信水平下的置信区间为： 式中，1-α称为置信水平； 是标准正态分布上侧面积为α/2时的临界值； 是估计总体比例时的允许误差。 例3：为了解某城市家庭电脑的普及情况，随机抽取了100户家庭，其中有60户有电脑。试以95％的置信水平估计该城市家庭中拥有电脑比例的置信区间。 解：已知 n＝100，n1＝60 , 则样本比例为：p＝60％ 由于1－ = 95%，查标准正态分布表可知，Zα/2=1.96。 于是 即该城市家庭中，拥有电脑的比例在置信水平95％下的置信区间为：（50.396％，69.604％）。 三、总体方差的区间估计