第十七章 勾股定理 ——勾股定理的应用 -立体图形中的最短路程问题 教学设计 2022—2023学年人教版数学八年级下册

勾股定理的应用 ----------立体图形中的最短路程问题 一、内容和内容解析 1、 内容 利用勾股定理解决立体图形中两点的最短路程问题. 2、 内容解析 勾股定理的应用特别广泛，而利用勾股定理来解决立体图形中两点的最短路程问题是本章中常常遇到的一种类型题.这类问题可以通过将立体图形展开，转化为平面图形，进而利用“线段公理”和“勾股定理”来解决问题. 本节课的探究是从研究现实生活中人们常常喜欢走“捷径”这样一个平面问题展开的，进而引导学生探究两点沿“曲面”和“折面”的最短路程的解法，探究的过程要体现从“特殊到一般”的研究方法，同时让学生感受“转化与化归”的数学思想在解决实际问题中的重要作用. 基于以上分析，可以确定本节课的教学重点是：探究立体图形展开为平面图形的方法，并学会利用线段公理和勾股定理求出最短路程. 2、 目标和目标解析 1、 目标 （1）经历立体图形转化为平面图形的探究过程，理解立体图形和平面图形是可以相互转化的, 感受从特殊到一般的研究方法，培养学生的动手能力和空间想象能力，使学生能够实现从感性认识到理性认识的飞跃. (2)学会利用“线段公理”和“勾股定理”找到并求出立体图形中两点的最短路程，明确“转化与化归”的数学思想是我们解决此类问题的基本思想方法. 2、目标解析 目标（1）要求学生动手实践，利用长方形纸片围成圆柱的侧面，探究两点在“曲面”上的最短路程的解法，进而总结出等距离绕圆柱n周的规律方法；对于两点沿“折面”的最短路程，先从特殊的长方体-------正方体入手，研究它的各种展开情况，再顺势研究一般的长方体的展开情况，培养学生的空间想象能力,让学生感受从特殊到一般的研究问题的方法，理解立体图形和平面图形是可以相互转化的。 目标（2）要求学生在前面展开图的基础上找到两点之间的最短路程，并能够构造直角三角形，利用勾股定理计算出最短路程，体会解决此类问题的方法. 三、教学问题诊断分析 在初一上学期学生已经学过线段公理，知道在平面内，可以利用“两点之间，线段最短”来找到两点之间的最短路程，进而求出这两点的最短距离。但是如果两个点沿着同一曲面或沿着不同折面的最短路程的求法，就涉及到在空间中立体图形的一个平面展开问题.然而，由于初二学生只学习了简单的平面图形，对于立体图形受知识结构和认知能力的限制，空间想象能力比较差，所以解决这一问题就有较大的难度。因此，教师在授课过程中要引导学生亲自动手实践，提升感性认识，理解立体图形和平面图形相互转化的过程，进而解决两点沿“曲面”和“折面”的最短路程问题。 基于以上分析，本节课的教学难点是：怎样引导学生学会将立体图形展开为平面图形，确定两点沿“曲面”和“折面”的最短路程。 4、 教学支持条件分析 1、 师生利用自制教具----圆柱、正方体、长方体、圆锥等，亲身感受立体图形和平面图形相互转化的过程，提升了空间想象能力，为学生从感性认识上升到理性认识奠定了基础； 2、借助多媒体课件，动态演示圆柱体，正方体和长方体的平面展开过程，进一步验证将立体图形展开为平面图形的方法，使学生实现了从感性认识到理性认识的飞跃. 五、教学过程设计 1、回顾旧知，引发思考 引言：前面我们学习了勾股定理的有关知识，今天我们就利用勾股定理解决一类实际问题-----立体图形中的最短路程问题. 让我们先来看一个简单的问题. 有一个长方形花圃,有人避开拐角在花园内走出了一条小路.问: 这么走的理论依据是什么?他们仅仅少走了多少步?(假设2步为1米) 师生活动：教师利用课件展示实际问题，并抽象出几何模型，引导学生回答问题。学生通过分析回答问题，并说明其理论依据。 追问：在平面内，两点之间的最短距离就是连接两点的线段长度.若两点在曲面或折面上，那么这两点沿曲面和折面的最短路程又应该如何求呢？ 设计意图：借助多媒体课件展示生活中一个常见的走“捷径”问题，使学生回忆起初一学习过的“线段公理”，并利用“勾股定理”计算出最短路程，为后面求立体图形中两点间的最短路程奠定基础. 随后的追问，目的是引导学生进一步深入思考，激发学生的求知欲和好奇心. 2、 层层递进，探究新知 活动一: 如图有一个圆柱,底面周长是18米,高为12米.在它的下底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，绕圆柱侧面爬行的最短路程是多少？ 师生活动：多媒体展示问题. 教师首先启发学生动手利用长方形纸片围成圆柱体，观察圆柱的侧面是曲面而不是平面，并强调点A和点B在圆柱侧面的具体位置，提问若蚂蚁从点A沿圆柱侧面到点B所走的最短路程如何求？学生回答将圆柱侧面展开成平面图形，再利用“线段公理”和“勾股定理”解决问题. 教师让学生画