精品解析：山东省菏泽市2023-2024学年高二上学期期中数学试题（B）

2023—2024学年度第一学期期中考试 高二数学试题（B） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若直线与直线互相平行，则值是（ ） A. B. C. 或 D. 或 2. 已知点，点B在直线上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 4 3. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为3，则（ ） A 4 B. 5 C. 6 D. 7 5. 已知直线，圆．则“”是“与相切”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 明朝的一个葡萄纹椭圆盘如图（1）所示，清朝的一个青花山水楼阁纹饰椭圆盘如图（2）所示，北宋的一个汝窑椭圆盘如图（3）所示，这三个椭圆盘的外轮廓均为椭圆．已知图（1），（2），（3）中椭圆的长轴长与短轴长的比值分别为，，，设图（1），（2），（3）中椭圆的离心率分别为，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 设抛物线焦点为，准线为，点为上一动点，为定点，则下列结论错误的是（ ） A. 准线的方程是 B. 的最大值为2 C. 的最小值为5 D. 以线段为直径的圆与轴相切 8. 已知双曲线的右焦点为，点，是双曲线上的一点，当取得最小值时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 5分，选对但不全的得 2分，有选错的得0分． 9. 已知圆，则（ ） A. 点在圆的内部 B. 圆的直径为2 C. 过点的切线方程为 D. 直线与圆相离 10. 在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：，则（ ） A. C的离心率为2 B. C的渐近线方程为 C. C的实轴长为2 D. C的右焦点到渐近线的距离为 11. 2021年3月30日，小米正式开始启用具备“超椭圆”数学之美的新logo（如图所示），设计师的灵感来源于曲线．当时，下列关于曲线的判断正确的有（ ） A. 曲线关于轴和轴对称 B. 曲线所围成的封闭图形的面积小于8 C. 设，直线交曲线于两点，则的周长小于8 D. 曲线上的点到原点的距离的最大值为 12. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，椭圆的上顶点为，且，双曲线和椭圆有相同的焦点，且双曲线的离心率为，为曲线与的一个公共点．若，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置． 13. 若直线l的一个方向向量是，则直线l的倾斜角是________． 14. 若圆与圆相切，则a的值为___________. 15. 已知抛物线焦点，过点F作互相垂直的两条弦，两条弦、的中点分别为M，N，直线与x轴交于点E．当的斜率为时，的面积为________． 16. 某同学画“切面圆柱体”（用与圆柱底面不平行的平面切圆柱，底面与切面之间的部分叫做切面圆柱体），发现切面与圆柱侧面的交线是一椭圆（如图所示）．若该同学所画的椭圆的离心率为，则“切面”所在平面与底面所成锐二面角的大小为________． 四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知点、． （1）求线段的垂直平分线的直线方程； （2）若点、到直线的距离相等，求实数的值． 18. 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，长轴长为，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）设直线的斜率为1，经过点，且与椭圆交于，两点，若，求值． 19. 小徐同学在平面直角坐标系画了一系列直线（）和以点为圆心，为半径的圆，如图所示，他发现这些直线和对应同一值的圆的交点形成的轨迹很熟悉． （1）求上述交点的轨迹的方程； （2）过点作直线交此轨迹于、两点，点在第一象限，且，轨迹上一点在直线的左侧，求三角形面积的最大值． 20. 已知圆 （1）求过点且与圆相切的直线方程； （2）若为圆上的任意一点，求的取值范围． 21. 已知椭圆，①直线过的右焦点，椭圆的长轴长是下顶点到直线的距离的2倍，②点，都在上，③四点，，，中恰有三点在椭圆上． 在以上三个条件中任选一个，解答下列问题． （1）求椭圆的标准方程： （2）设，，是椭圆上不同于，两点（其中在轴上方），若直线的斜率等于直线的斜率的2倍，求四边形面积的最大值． 22. 已知双曲线的右焦点为，的两条渐近线分别与直线交于，两点，且的长度恰好等于点到渐近线距离的倍. （1）求双曲线的离心率； （2）已知过