函数性质总结：单调性、奇偶性、对称性、周期性讲义-2024届高三数学一轮复习

函数的单调性 【题型概述】 函数的单调性是函数的重要性质之一，围绕函数单调性可以出很多题. 主要需要牢记函数单调性的定义及应用. 【知识与方法】 1. 函数的单调性 （1）单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2 当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 （2）单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间． 2．函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 ①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M； ②存在x0∈I，使得f(x0)＝M ①对于任意x∈I，都有f(x)≥M； ②存在x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 M为函数y＝f(x)的最大值 M为函数y＝f(x)的最小值 3. 应用函数单调性常用方法如下： ①定义法，此时一定注意定义域； ②对基本初等函数单调性或如何求单调区间掌握，例如一次函数、二次函数、反比例函数等等，再加上理解函数图像平移问题和对称问题，也能解决一些函数单调性问题；例如函数，，所以平移过程可看做，问题自然而然解决，再例如函数，由于关于直线对称，也是关于直线对称，且均在上单调递增，所以函数单调递增区间为。 ③如果已知函解析式比较复杂，可以将其转化为几个基本初等函数和或差或复合函数的形式，然后利用基本初等函数单调性进行判断，（对平移和对称需要注意） 例如函数f(x)＝在定义域内的单调性判断就可以通过y＝在上单调递增，y＝在上单调递增，所以f(x)在上单调递增。 ③互为反函数的两个函数具有相同的单调性； ④关于原点对称的两个函数在对称的两个区间上具有相同的单调性；例如都是单调递增；关于y轴对称的两个函数在对称的两个区间上具有相反的单调性，例如在上单调递减，在上单调递增； ⑤对于复合函数，如果和单调性相同，那么是增函数；如果和单调性相反，那么是减函数， 例1.（函数单调性的判断）下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是(　　) A．f(x)＝3－x　　　　　　 　B．f(x)＝x2－3x C．f(x)＝－ D．f(x)＝－|x| 【答案】C 【解析】当x＞0时，f(x)＝3－x为减函数；当x∈时，f(x)＝x2－3x为减函数，当x∈时，f(x)＝x2－3x为增函数；当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－为增函数；当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－|x|为减函数． 例2.试讨论函数f(x)＝(a≠0)在(－1,1)上的单调性． 【解析】(定义法)设－1＜x1＜x2＜1，f(x)＝＝，f(x1)－f(x2)＝＝，由于－1＜x1＜x2＜1，所以x2－x1＞0，x1－1＜0，x2－1＜0，故当a＞0时，f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，函数f(x)在(－1,1)上递减；当a＜0时，f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，函数f(x)在(－1,1)上递增． 【思维点睛】判断或证明函数的单调性的一种重要方法及其步骤 定义法，其基本步骤： 变式训练.判断函数y＝在(－1，＋∞)上的单调性． 【解析】（定义法）：任取x1，x2∈(－1，＋∞)，且x1＜x2，则y1－y2＝－＝.∵x1＞－1，x2＞－1，∴x1＋1＞0，x2＋1＞0，又x1＜x2，∴x2－x1＞0，∴＞0，即y1－y2＞0.∴y1＞y2，∴函数y＝在(－1，＋∞)上单调递减． 例3.（求函数单调区间）求下列函数的单调区间：y＝－x2＋2|x|＋1； 【解析】由于y＝即y＝画出函数图象如图所示，单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)． 【思维点睛】确定函数的单调区间的3种方法 【注】单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结． 变式训练.函数f(x)＝的定义域为________；其单调递增区间为________． 【答案】(－3,3)　 【解析】对于函数f(x)＝，令t＝9－x2＞0，解得－3＜x＜3，可得函数的定义域为(－3,3)．令g(x)＝，则函数f(x)＝，又函数g(x)在定义域内的减区间为． 所以函数f(x)＝在定义域内的单调递增区间为． 例3.（函数单调性的应用）已知函数f(x)＝(a＞0，b＞0)，则f(x)的最大值为______，f(