指对比较大小、解不等式、基本不等式、绝对值不等式、一元二次不等式讲义-2024届高三数学一轮复习

1、指数式与对数式的大小比较 2、基本不等式的应用（定值条件的最值问题） 3、解绝对值不等式 4、绝对值不等式中的参数问题 5、一元二次不等式 指数式与对数式的大小比较 【题型概述】 通常是考查几个指数和对数式的大小的判断，考查指数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，难度较低． 【知识与方法】 1. 指数式值的大小比较可按以下类型进行： （1）同底不同指数，根据底数的范围按照单调性比较 例如，函数以2为底，大于1，在R上单调递增，所以； 再例如和的比较，首先先化成分数指数幂的形式和，即可看做以为底的指数函数，根据底数大于0且小于1，奇函数在R上单调递减，所以 （2）同指数不同底，依照底大幂大原则比较（若指数为负数，先将指数化为正指数，再遵循底大幂大原则比较）例如，再例如和，先化成和，所以 （3）不同底不同指,寻找中间量如. 2. 对数式值的大小比较可按以下类型进行： （1） 比较两个同底数的对数值的大小，利用单调性比较大小。例如比较与的大小，其中a＞0，且a≠1 ①若，，，则>> ②若，，，，则> （2） 比较两个同真数的对数值的大小，例如比较与，其中 ①若， 当时，； 当时， ②若， 当时，； 当时， ③若 当时， 当时， 例1．（指数式比较大小）已知a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是(　) A．a＞b＞c　　　　　　　 　B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞a＞b 【答案】A. 【解析】　∵＞，y＝在(0，＋∞)上是增函数， ∴b＝＞c＝， ∵＜，y＝在R上是减函数， ∴a＝＞b＝， ∴a＞b＞c.故选A. 变式训练．设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a 【答案】C 【解析】 因为函数y＝0.6x在R上单调递减，所以b＝0.61.5＜a＝0.60.6＜1.又c＝1.50.6＞1，所以b＜a＜c. 例2．（对数式比较大小）设a＝log3π，b＝log2，c＝log3，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a＞b＞c　　　　　　　 　B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a 【答案】 A 【解析】因为a＝log3π＞log33＝1，b＝log2＜log22＝1，所以a＞b；又＝＝(log23)2＞1，c＞0，所以b＞c.故a＞b＞c. 变式训练1．设a＝log50.5，b＝log20.3，c＝log0.32，则a，b，c的大小关系是(　　) A．b＜a＜c B．b＜c＜a C．c＜b＜a D．a＜b＜c 【解析】选B.　a＝log50.5＞log50.2＝－1，b＝log20.3＜log20.5＝－1，c＝log0.32＞log0.3＝－1，log0.32＝，log50.5＝＝＝.∵－1＜lg 0.2＜lg 0.3＜0，∴＜，即c＜a，故b＜c＜a.故选B. 例3.（对数与指数综合比较） 已知a＝log20.3，b＝log0.23，c＝0.20.3，则a，b，c的大小关系为（　　） A．c＞b＞a B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞c＞b 【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解． 【解答】解：∵a＝log20.3＜log20，5＝﹣1， 0＞b＝log0.23＞log0.25＝﹣1， c＝0.20.3＞0， ∴a，b，c的大小关系为c＞b＞a． 故选：A． 变式训练．已知a＝，b＝，c＝，则（　　） A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．a＜b＜c 【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解． 【解答】解：∵y＝在R上是减函数，且，， 又∵y＝在（0，+∞）上为增函数，且，∴， ∴0＜＜1，∴0＜a＜b＜1， ∴log3＜log31＝0，∴c＜0， ∴c＜a＜b， 故选：A． 基本不等式的应用（定值条件的最值问题） 【题型概述】 这类题目通常会给出一个定值条件，再求取另一个式子的最值。常常需要将值为定值的式子经过灵活变形后，整体代换到目标表达式中，转化成存在和或积为定值的形式，再利用基本不等式求最值。 经常常出现“1”的代换，需要理解其中的思维方法。 【知识与方法】 1．基本不等式：≤(a≥0，b≥0) (1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)． (2)＋≥2(a，b同号)． (3) (a，b∈R)． (4) (a，b∈R)． 以上不等式等号成立的条件均为a＝b. 3．利用基本不等式求最值问题 已知x>0，y>0，则 (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2. (简记：积定和最小)