第一章空间向量与立体几何综合练习-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第一章空间向量与立体几何综合练习 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．如图，在四面体中，，若，则二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 2．已知向量和的夹角为，且，，则（    ） A．12 B． C．4 D．13 3．如图，在平行六面体中，若，则有序实数组（    ）    A． B． C． D． 4．在如图所示的斜三棱柱中，，，则“”是“”的（    ）    A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知空间中三个点组成一个三角形，分别在线段上取三点，当周长最小时，直线与直线的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 6．已知空间向量，，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．如图，是棱长为6的正方体，若，则点到直线的距离为（    ）    A．4 B．3 C．2 D．1 8．正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形）. 数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体. 如图，已知一个正八面体的棱长为2，，分别为棱，的中点，则直线和夹角的余弦值为（    ）      A． B． C． D． 二、多选题 9．若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 10．已知是空间的一个基底，则下列说法正确的是（    ） A．存在不全为零的实数x，y，z，使得 B．对空间任一向量，存在唯一的有序实数组，使得 C．在，，中，能与，构成空间另一个基底的只有 D．不存在另一个基底，使得 11．在三棱锥中，，，且，则（    ） A．当为等边三角形时，， B．当，时，平面平面 C．的周长等于的周长 D．三棱锥体积最大为 12．如图，在棱长为2的正方体中，Q为线段的中点，P为线段上的动点（含端点），则下列结论正确的有（   ） A．为中点时，过三点的平面截正方体所得的截面的周长为 B．不存在点，使得平面平面 C．存在点P使得的值为 D．三棱锥外接球体积最大值为 三、填空题 13．如图，二面角的棱上有两个点，，线段与分别在这个二面角两个面内，并且都垂直于棱．若二面角的平面角为，且，，，则 .    14．已知三棱锥，点满足：，过点作平面，与直线，，分别相交于三点，且，，，则 . 15．已知，空间向量，.若，则 . 16．在四棱锥中，面，四边形为直角梯形，，，，则平面与平面夹角的余弦值为 ，异面直线与的距离为 ． 四、解答题 17．如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为．记，，．    (1)求的长； (2)求与夹角的余弦值． 18．如图，已知四棱锥的底面为平行四边形，平面与直线、、分别交于点、、，且满足.点在直线上，为棱的中点，且直线平面. (1)设，，，试用基底表示向量； (2)若点的轨迹长度与棱长的比值为，试讨论是否为定值，若为定值，请求出，若不为定值，请说明理由. 19．已知空间向量. (1)求； (2)若向量与垂直，求实数的值. 20．n个有次序的实数，，，所组成的有序数组称为一个n维向量，其中称为该向量的第个分量．特别地，对一个n维向量，若，，称为n维信号向量．设，， 则和的内积定义为，且． (1)直接写出4个两两垂直的4维信号向量． (2)证明：不存在14个两两垂直的14维信号向量. (3)已知k个两两垂直的2024维信号向量，，，满足它们的前m个分量都是相同的，求证：． 21．如图，在直三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，，点在线段上且，点是线段上的动点.    (1)当点在什么位置时，直线平面？请说明理由； (2)当直线平面时，求平面与平面夹角的余弦值. 22．如图，在边长为12的正方形中，点在线段上，且，作，分别交于点，作，分别交于点，将该正方形沿折叠，使得与重合，构成如图所示的三棱柱. (1)求四棱锥的体积； (2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．C 【分析】作垂直于垂直于，可知，结合空间向量的数量积运算求解. 【详解】因为，则均为直角三角形， 且， 结合为锐角，可得， 作垂直于垂直于， 则，可得， 设二面角的大小为， 因为， 则 ， 解得，且，所以，即. 故选：C． 2．D 【分析】根据空间数量积的运算性质求解