第一章空间向量与立体几何同步练习-2023-2024学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第一册

第一章空间向量与立体几何练习 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．若，，则（　　） A．20 B． C． D．8 2．若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 3．如图所示，三棱锥中，平面，，点为棱的中点，分别为直线上的动点，则线段的最小值为（    ）    A． B． C． D． 4．空间四边形中，设，，，点在棱上，且，是棱的中点，则（    ） A． B． C． D． 5．已知为直线的方向向量，、分别为平面、的法向量（、不重合），那么下列说法中：①；②；③；④.其中正确的有（ ）. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．如图，四边形是边长为1的正方形，平面，若，则平面与平面的夹角为（    ）      A． B． C． D． 7．如图，分别是二面角的两个半平面内两点，，，，，若，则异面直线的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 8．已知平面平面，，的一个法向量分别为，，直线的方向向量为，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知正方体，下列选项中，能成为空间中的一组基底的为（    ） A． B． C． D． 10．已知正方体的中心为，，则满足的可以是（    ） A． B． C． D． 11．直线的方向向量为，平面的法向量分别为，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则直线与平面所成角的大小为 D．若，则平面的夹角大小为 12．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，面，则（    ）    A． B．与平面所成角为 C．二面角的余弦值为 D．直线与所成角的余弦值为 三、填空题 13．在长方体中，，则 ． 14．已知点、，若，则点的坐标是 . 15．如图，在四棱锥中，，，，，平面，则异面直线与之间的距离为 .    16．棱长为1的正方体中，点在棱上运动，点在侧面上运动，若，分别为,中点，求 ；满足平面，则线段的最小值为 . 四、解答题 17．如图，四棱锥的底面为平行四边形，且，是的中点． (1)若，求的值； (2)求线段的长． 18．如图，在直三棱柱中，线段，，的中点分别为，，.已知，，.    (1)证明：； (2)求. 19．《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑中，平面，平面，为的中点，．    (1)设，，，用表示； (2)若，求． 20．如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，. (1)若点，分别为，的中点，求证：直线平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 21．如图，在四棱锥中，平面平面，，为中点，点在上，且.    (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)线段上是否存在点，使得平面？说明理由. 22．如图1，矩形中，，点为的中点，现将沿折起，使得平面平面，得到如图2所示的四棱锥，点为棱上一点.      (1)证明：； (2)是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．C 【分析】直接利用向量的运算法则计算得到答案. 【详解】. 故选：C 2．BC 【分析】利用共面向量基本定理逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】对于A选项，，所以、、共面； 对于B选项，假设、、共面， 则存在、使得， 因为构成空间的一个基底，则，无解， 假设不成立，故、、不共面； 对于C选项，假设、、共面， 则存在、，使得， 所以，，则、、共面，与题设矛盾， 故、、不共面； 选项D，因为，则、共线，则、、共面. 故选：BC. 3．B 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量建立的函数关系求解即可. 【详解】三棱锥中，过作平面，由，知， 以为原点，直线分别为建立空间直角坐标系，如图，    由平面，得，则， 令，则，设， 于是， 当且仅当时取等号，所以线段的最小值为. 故选：B 4．C 【分析】根据空间向量的运算结合基底可得答案. 【详解】由题意. 故选：C 5．B 【分析】根据线面、面面位置关系判断对应方向向量与法向量、法向量与法向量的关系，由此判断出正确说法. 【详解】平面与平面的法向量平行等价于平面与平面平行，故①正确； 平面与平面的法向量垂直等价于平面与平面垂直，故②正确； 直线方向向量与平面法向量平行等价于直线垂直于平面