压轴小题06 探寻规律妙解数列综合问题-【突破压轴冲刺名校】火箭班尖子生备战2024年新高考数学二轮复习满分秘籍（广东专用）

压轴小题06 探寻规律妙解数列综合问题 压轴秘籍 1. 等差数列通项公式： 或 2. 等差中项：若，，三个数成等差数列，则，其中叫做，的等差中项 3. 若，为等差数列，则，仍为等差数列 4. 等差数列前n项和公式：或 5. 等差数列的前项和中，，（为奇数） 6. 等比数列通项公式： 7. 等比中项：若，，三个数成等比数列，则,其中叫做，的等比中项 8. 若，为等比数列，则，仍为等比数列 9. 等比数列前项和公式： 10. 已知与的关系 11. 分组求和 若为等差数列，为等比数列，则可用分组求和 12. 裂项相消求和 压轴训练 一、单选题 1．（23·24高三上·广东·阶段练习）已知数列满足，,则的前项积的最大值为（    ） A． B． C．1 D．4 2．（22·23高三上·广东·阶段练习）记为数列的前项和，满足，则（    ） A． B． C． D． 3．（2023·广东揭阳·模拟预测）已知一族曲线．从点向曲线引斜率为的切线，切点为．则下列结论错误的是（    ） A．数列的通项为 B．数列的通项为 C．当时， D． 4．（2023·广东广州·模拟预测）已知数列的各项均为正数，记数列的前项和，且满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（2023·广东广州·三模）小明的父母在他入读初中一年级起的9月1日向银行教育储蓄账户存入1000元，并且每年在9月1日当天都存入一笔钱，每年比上年多存1000元，即第二年存入2000元，第三年存入3000元，……，连续存6年，每年到期利息连同本金自动转存，在小明高中毕业的当年9月1日当天一次性取出，假设教育储蓄存款的年利率为p，不考虑利率的变化．在小明高中毕业的当年9月1日当天，一次性取出的金额总数（单位：千元）为（    ）． A． B． C． D． 6．（23·24高三上·广东深圳·开学考试）符号表示不超过实数的最大整数，如，.已知数列满足，，.若，为数列的前项和，则（    ） A． B． C． D． 7．（23·24高三上·广东广州·阶段练习）如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案.图形的作法是从一个正三角形开始，把每条边分成三等分，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，反复进行这一过程，就得到一个“雪花”状的图案.设原正三角形（图①）的边长为1，把图①、②、③、④……中图形的周长依次记为，得到数列.设数列的前项和为，若时，则的最小值为（    ） （参考数据：，）    A．5 B．8 C．10 D．12 8．（20·21下·深圳·二模）在一个正三角形的三边上，分别取一个距顶点最近的十等分点，连接形成的三角形也为正三角形（如图1所示，图中共有个正三角形）．然后在较小的正三角形中，以同样的方式形成一个更小的正三角形，如此重复多次，可得到如图2所示的优美图形（图中共有个正三角形），这个过程称之为迭代．在边长为的正三角形三边上，分别取一个三等分点，连接成一个较小的正三角形，然后迭代得到如图3所示的图形（图中共有个正三角形），其中最小的正三角形面积为（    ） A． B． C． D． 9．（22·23上·汕头·期末）已知数列，，其中为最接近的整数，若的前m项和为10，则（    ） A．15 B．20 C．30 D．40 10．（2023·广东肇庆·二模）设数列的前项和为，且.若对任意的正整数，都有成立，则满足等式的所有正整数为（    ） A．1或3 B．2或3 C．1或4 D．2或4 二、多选题 11．（2021·广东广州·一模）在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.将数列1,2进行构造，第1次得到数列1,3,2；第2次得到数列1,4,3,5,2；…；第次得到数列1，，2；…记，数列的前项为，则（    ） A． B． C． D． 12．（2023·广东茂名·二模）已知数列和满足：，，，，，则下列结论错误的是（    ） A．数列是公比为的等比数列 B．仅有有限项使得 C．数列是递增数列 D．数列是递减数列 13．（23·24高三上·广东广州·阶段练习）已知数列满足，，则（    ） A．为单调递减数列 B． C． D． 14．（2022·广东广州·一模）十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础，著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0，1]均分为三段，去掉中间的区间段，记为第1次操作：再将剩下的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第2次操作：；每次操作都在上一次操作的基础上，将剩下的各个区