压轴小题06 探寻规律妙解数列综合问题-【突破压轴冲刺名校】火箭班尖子生备战2024年新高考数学二轮复习满分秘籍（江苏专用）

压轴小题06 探寻规律妙解数列综合问题 压轴秘籍 1. 等差数列通项公式： 或 2. 等差中项：若，，三个数成等差数列，则，其中叫做，的等差中项 3. 若，为等差数列，则，仍为等差数列 4. 等差数列前n项和公式：或 5. 等差数列的前项和中，，（为奇数） 6. 等比数列通项公式： 7. 等比中项：若，，三个数成等比数列，则,其中叫做，的等比中项 8. 若，为等比数列，则，仍为等比数列 9. 等比数列前项和公式： 10. 已知与的关系 11. 分组求和 若为等差数列，为等比数列，则可用分组求和 12. 裂项相消求和 压轴训练 一、单选题 1．（2023·江苏·统考一模）已知数列的前n项和为，，若对任意正整数n，，，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2023秋·江苏南通·高三统考阶段练习）已知数列满足，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2023·江苏·高三专题练习）已知数列是各项为正数的等比数列，公比为q，在之间插入1个数，使这3个数成等差数列，记公差为，在之间插入2个数，使这4个数成等差数列，公差为，在之间插入n个数，使这个数成等差数列，公差为，则（    ） A．当时，数列单调递减 B．当时，数列单调递增 C．当时，数列单调递减 D．当时，数列单调递增 4．（2023秋·江苏无锡·高三统考期末）已知一个等比数列的前项和､前项和､前项和分别为､､，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（2023·江苏扬州·校考二模）已知是数列的前项和，且，（），则下列结论正确的是（    ） A．数列为等比数列 B．数列为等比数列 C． D． 二、多选题 6．（2023·江苏南通·三模）1979年,李政道博士给中国科技大学少年班出过一道智趣题:“5只猴子分一堆桃子,怎么也不能分成5等份,只好先去睡觉,准备第二天再分.夜里1只猴子偷偷爬起来,先吃掉1个桃子,然后将其分成5等份,藏起自己的一份就去睡觉了;第2只猴子又爬起来,吃掉1个桃子后,也将桃子分成5等份,藏起自己的一份睡觉去了;以后的3只猴子都先后照此办理.问最初至少有多少个桃子?最后至少剩下多少个桃子?”.下列说法正确的是(   ) A．若第n只猴子分得个桃子(不含吃的),则 B．若第n只猴子连吃带分共得到个桃子,则为等比数列 C．若最初有个桃子,则第只猴子分得个桃子(不含吃的) D．若最初有个桃子,则必有的倍数 7．（2023·江苏·校联考模拟预测）佩尔数列是一个呈指数增长的整数数列．随着项数越来越大，其后一项与前一项的比值越来越接近于一个常数，该常数称为白银比．白银比和三角平方数、佩尔数及正八边形都有关系．记佩尔数列为，且，，．则（    ） A． B．数列是等比数列 C． D．白银比为 8．（2022·江苏·高三专题练习）在（）中，内角的对边分别为，的面积为，若，，，且，，则（    ） A．一定是直角三角形 B．为递增数列 C．有最大值 D．有最小值 9．（2023·江苏南通·江苏省如皋中学校考模拟预测）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，….该数列的特点如下：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列，现将中的各项除以2所得的余数按原来的顺序构成的数列记为，数列的前n项和为，数列的前n项和为，下列说法正确的是（    ） A． B． C．若，则 D． 10．（2022秋·江苏南通·高三统考阶段练习）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，是圆上两个不同的动点，是的中点，且满足．设到直线的距离之和的最大值为，则下列说法中正确的是（    ） A．向量与向量所成角为 B． C． D．若，则数列的前n项和为 11．（2022秋·江苏泰州·高三江苏省泰兴中学校联考阶段练习）在数列中，已知是首项为1，公差为1的等差数列，是公差为的等差数列，其中，则下列说法正确的是（    ） A．当时， B．若，则 C．若，则 D．当时， 12．（2022秋·江苏盐城·高三盐城市第一中学校考阶段练习）已知数列{}的前n项和为，，则下列选项正确的是（    ） A． B．存在，使得 C． D．是单调递增数列，{}是单调递减数列 13．（2022秋·江苏南京·高三期末）对于伯努利数，有定义：.则（    ） A． B． C． D． 14．（2022春·江苏苏州·高三江苏省苏州第十中学校校考阶段练习）已知等比数列首项，公比为q，前n项和为，前n项积为，函数，若，则下列结论正确的是（    ） A．为单调递增的等差数列 B．