第40届全国中学生物理竞赛决赛考试试题（理论+实验）

第40届全国中学生物理竞赛决赛理论考试试题 1. 雨过天晴，空气内悬浮着大量小水滴，若阳光从背后以低角度照射，观察者便可能观察到彩虹（图a）．有时会同时出现两条彩虹，内层彩虹称为主虹（1级虹），它来自阳光进入水滴后的一次反射；在主虹外边较暗的虹称为副虹或霓（2级虹），它来自阳光在水滴内的两次反射．光线在水滴内还可能发生三次及以上的反射，并产生相应级次的虹．在自然界中通常只能观察到1级和2级虹，更高级次的虹可以在实验室环境下呈现． 考虑一个球形水滴，直径为量级．如图b，一根入射光线与球心确定一个平面，该平面与球形水滴表面相交形成一个圆（大圆），进入水滴的光线经折射、反射后的出射光都在此平面内．把光线在水滴内经过次反射后的出射光称为级光，出射光相对入射光方向偏转的角度称为偏向角（见图b）． （1）已知入射光线在水滴外表面上的入射角为,空气和水的折射率分别为1和．试求级光的偏向角的表达式． （2）当一束单色平行光照射水滴时，不同入射位置对应不同入射角（见图c）．当入射角变化时，级光偏向角有一极小值,试求及其对应的入射角的表达式． （3）由于色散，不同波长的光在水中的折射率不同．对于确定的入射角，试求级光偏向角对折射率的变化率与入射角的关系式，并求当取第（2）问中的时的表达式． （4）图c是单色平行光照射到水滴后出射的1级光示意图，在1级光偏向角极小值附近出射的光线较为集中，即光强较大，此处出现1级虹，相应偏向角的极小值为1级虹的偏向角，类似地为级虹的偏向角．当白光平行入射时，取红光和紫光在水中的折射率分别为和,试分别计算和级虹的偏向角和以及虹的角宽度，并分别指出它们从内到外颜色排列的次序．角度的计算结果以度（°）为单位，精确到． （5）透过偏振片观察彩虹，可发现彩虹的光是偏振光．设入射到水滴的光为单色自然光，出射光中偏振（偏振方向垂直于入射面）的光强为，偏振（偏振方向平行于入射面）的光强为,光的偏振度定义为．当入射光为红光时，试分别计算和级虹出射光的偏振度． 提示：当光从折射率为的介质射向折射率为的介质，入射角和折射角分别为和，对于偏振，反射光和折射光的电场振幅与入射光的电场振幅之比分别为 对于偏振，反射光和折射光的电场振幅与入射光的电场振幅之比分别为 （6）在某些条件下可观察到紧靠虹的边缘出现额外的彩色条纹，该现象称为“附属虹”，如图d所示．试定性解释附属虹产生的原因． 2. 如图,一根长度为、质量为的匀质刚性细杆可绕过其一端的水平轴转动．只考虑杆在垂直于转轴的竖直平面内的运动，用杆与竖直向下方向之间的夹角（，以逆时针方向为正）作为描述杆位置的坐标．忽略空气阻力和转轴的摩擦阻力．重力加速度大小为． 已知杆的转轴在竖直方向上作小振幅高频简谐振动，振动方程为,振幅,圆频率．在随转轴同步平动参考系中讨论杆的运动． （1）试写出满足的动力学方程． （2）可表示为和之和，其中表示平稳运动，表示圆频率为的高频小幅简谐振动．考虑到（即和的特征频率相差若干个量级），在变化的一个周期内，可视为不变；高频运动对平稳运动的影响可以由其在一个高频运动周期内的平均效果表示．在以上条件和近似下，导出满足的动力学方程． （3）由满足的动力学方程可知，杆的平稳运动等效于杆在一保守场中运动，试求相应的有效势能（取处势能为零）． （4）根据有效势能,试确定杆的平衡位置，并讨论各平衡位置的稳定性（不考虑参数取临界值时的情况）；试求杆在各稳定平衡位置附近做小幅振动的频率． （5）初始时，杆位于转轴的正下方，其初角速度．要使杆能运动至转轴的正上方，应大于一个临界值，试求；当时，求杆能运动到的最大角度． 3. 卢瑟福粒子散射实验揭示了原子的核式结构．利用粒子散射实验可确定材料靶原子的种类、浓度及其深度分布等信息．典型的实验装置示意图如图a所示，一束粒子入射到待测材料靶（例如金箔）上，测量不同角度方向上散射粒子的数目。 （1）粒子可以通过放射性元素的衰变获得．静止的（钋）衰变到（铅），同时放出动能为的粒子。试写出此衰变过程的反应式，并计算衰变末态粒子的总动能（单位取，保留两位有效数字）。 （2）如图b，质量为、电荷为、动能为的粒子从远处沿某直线入射，该直线与靶核A的距离为（瞄准距离）。该粒子被核电荷数为的原子核散射后，其在远处的运动方向与远处入射方向之间的夹角为（散射角）．靶核A可视为始终静止不动，求与之间的关系。 （3）在粒子散射实验中，入射实际上是一束粒子流，其束流强度为（单位时间内、单位横截面积上入射的粒子数）。散射粒子的角分布相对于过且与粒子远处入射方向平行的直线是轴对称的，在以靶核为中心的环带立体角元内，单位时间出射的粒子数正比于，其中具有面积量纲，称为微分散射截面．求的表达式（其中不可含有参量）。 （4）实验上利用加速器获得动能不