2023-2024学年中职数学拓展模块一椭圆性质1

19.1椭圆的简单几何性质1 平面内到两个定点的距离之和等于常数（大于两定点间距离）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两个焦点的距离叫做焦距2c. F1 0 F2 X Y M 1.椭圆的定义 一.复习 分母哪个大，焦点就在哪个轴上 标准方程 图 形 焦点坐标 a、b、c 的关系 焦点位置的判断 x y F1 F2 P O x y F1 F2 P O 2.椭圆的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 o y x 二.椭圆的简单几何性质 观图，你看到了什么？ 1.范围 x o y 从图：椭圆位于直线 X=±a和y=±b所围成的矩形之中。 令 x=0，得 y=？椭圆与 y轴的交点（ ， ） 令 y=0，得 x=？椭圆与 x轴的交点（ ， ） 0 　±b ±a 0 B1(0,b) B2(0,-b) A1(-a,0) A2(a,0) 2.顶点 顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的顶点。 长轴、短轴：线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴。 长轴长：2a，短轴长：2b。 a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 o x y B1(0,b) B2(0,-b) A1(-a,0) A2(a,0) ︱ ︱ F1 F2 1、已知A点坐标（1,2）则A点关于x轴对称点B的坐标为__ 2、已知A点坐标（1,2）则A点关于y轴对称点B 的坐标为__ 补充知识 3、已知A点坐标（1,2）则A点关于原点对称点B 的坐标为__ 结论：关于哪轴对称，哪轴坐标不变，关于原点对称都变。 F2 F1 O x y 椭圆关于y轴对称。 3 .对称性 在曲线方程里，如果以-y代y方程不变，那么曲线关于x轴对称 在曲线方程里，如果以-x代x方程不变，那么曲线关于y轴对称 在曲线方程里，如果同时以-x代x，以-y代y方程不变，那么曲线关于原点对称 F2 F1 O x y 椭圆关于x轴对称。 A2 A1 A2 F2 F1 O x y 椭圆关于原点对称。 F2 F1 O x y 3对称性 椭圆关于y轴、x轴、原点对称。 (±a,0) (0,±b) (0,±a) (±b,0) 椭圆的几何性质 -a x  a -b y  b -a y  a -b x  b 椭圆方程 范围 对称性 顶点 对称轴：x轴、y轴 对称中心：原点 例1、求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、焦点和顶点的坐标,并画出它的图形. 解：把方程化为标准方程: 所以: a = 5 ,b = 4 c = 顶点坐标为 (-5,0)，(5,0)， (0,4)，(0,-4) 所以，长轴长2a=10,短轴长2b=8 ； X Y O 焦点坐标为(-3,0),(3,0) 1 2 3 -1 -2 -3 -4 4 y 1 2 3 4 5 -1 -5 -2 -3 -4 x B2 A2 B1 A1 椭圆的简单画法： 矩形 椭圆四个顶点 连线成图 写出下列椭圆方程的焦点坐标，顶点坐标， 长轴长，短轴长，并画出图形 （5,0），（-5,0）（0,2），（0，-2） 2a=10，2b=4 例2、求符合下列条件的椭圆的标准方程: (1)经过点(-3,0)、(0,-2); 解：易知a=3,b=2 又因为长轴在x轴上, 所以椭圆的标准方程为 (2)长轴的长等于20,短半轴长为8 (2)由已知, 2a=20, 或 因为椭圆的焦点可能在x轴上,也可能 在y轴上,所以所求椭圆的标准方程为 ∴a=10, b=8 练习 (±a,0) (0,±b) (0,±a) (±b,0) 椭圆的几何性质 -a x  a -b y  b -a y  a -b x  b 椭圆方程 范围 对称性 顶点 对称轴：x轴、y轴 对称中心：原点 小结 作业：课本第6页练习第1、2题. $$