假期作业一 空间向量及其运算-【快乐假期】2024高二数学寒假作业高考状元假期学习方案（新教材，人教B版）

　　一、空间向量及其运算　　　 １．空间向量的概念 (１)相等向量 　　　　的向量叫相等向量． (２)共线向量或平行向量 如果两个非零向量的方向相同或者相反, 则称这两个向量　　　　．两个向量a和 b平行,记作　　　　,两个向量平行也称 为两个向量　　　　． ２．两个向量的夹角 (１)a,b是两个非零向量,则其夹角记为　　 　　,范围是　　　　． (２)若‹a,b›＝９０°,则称a与b 　　　　　　 　　,记作:　　　　　． ３．公式:a􀅰b＝　　　　． ４．性质: (１)a􀅰e＝　　　　　(其中e为单位向量); (２)a⊥b,则a􀅰b＝　　　　　　,反之也 成立; (３)|a|２＝　　　　． ５．坐标运算 设a＝(a１,a２,a３),b＝(b１,b２,b３) (１)a＋b＝　　　　　　　　　　　　　, a－b＝　　　　　　　　　　, λa＝　　　　　　　　　　, a􀅰b＝　　　　　　　　　　． (２)设A(x１,y１,z１),B(x２,y２,z２), 则AB → ＝　　　　　　　　　　　． (３)向量平行的坐标表示 a∥b(b≠０)⇔　　　　　　　　　　． 或当b 与三条坐标轴都不平行时,a∥b ⇔　　　　　　　　　　　　． (４)向量垂直的坐标表示 a⊥b⇔　　　　　　　＝０． (５)向量长度与两个向量夹角的坐标计算公式 设a＝(a１,a２,a３),b＝(b１,b２,b３),则 |a|＝　　　　　　　　　　　． |b|＝　　　　　　　　　　　． cos‹a,b›＝　　　　＝　　　　． (６)空间两点间的距离公式 设A(x１,y１,z１),B(x２,y２,z２),则 |AB → |＝　　　　　　　　　　　　　． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．(１)大小相等、方向相同　(２)平行　a∥b 共线　２．(１)‹a,b›　[０,π]　(２)垂直　a⊥b ３．|a||b|cosθ　４．(１)|a|cosθ　(２)０ (３)a􀅰a　５．略 空间向量数量积运算与运算律 向量的数量积运算只适合交换律、加乘分 配律及数乘结合律,不满足: (１)消去律:即由a􀅰b＝b􀅰c不能推出a＝c, 即向量不能约分; (２)乘法结合律:即(a􀅰b)c＝a(b􀅰c)不一定 成立,这是因为(a􀅰b)c表示一个与c共线 的向量,而a(b􀅰c)表示一个与a共线的向 量,但c与a不一定共线． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１􀅰 １．若 △ABC 中,∠C＝９０°,A(１,２,－３k), B(－２,１,０),C(４,０,－２k),则k的值为(　　) A．１０ B．－ １０ C．２ ５ D．± １０ ２．设O是△ABC的外心,则AO →、BO →、CO → 是 (　　) A．相等向量 B．平行向量 C．模相等的向量 D．起点相同的向量 ３．已知点 M 在平面ABC 内,并且对空间任一 点O,OM → ＝xOA → ＋１２OB → ＋１３OC →,则x 的 值为 (　　) A．１６　　 B． １ ３ 　　C． １ ２　　 D．０ ４．若向量a＝(２,２,３),b＝(－１,２,１),c＝(０, １,１),则a􀅰(b＋c)＝ (　　) A．５ B．８ C．１０ D．１２ ５．(多选)已知三条直线l１,l２,l３ 的一个方向 向量分别为a＝(４,－１,０),b＝(１,４,５),c＝ (－３,１２,－９),则下列说法错误的是(　　) A．l１⊥l２,但l１ 与l３ 不垂直 B．l１⊥l３,但l１ 与l２ 不垂直 C．l２⊥l３,但l２ 与l１ 不垂直 D．l１,l２,l３ 两两互相垂直 ６．(多选)以下四个命题中,不正确的是 (　　) A．若OP → ＝１２OA → ＋１３OB →,则 P、A、B 三点 共线 B．△ABC是直角三角形的充要条件是AB →􀅰 AC →