假期作业十 二项式定理-【快乐假期】2024高二数学寒假作业高考状元假期学习方案（新教材，人教B版）

　　　　　　　　　十、二项式定理 １．二项式定理 (a＋b)n＝C０nan＋C１nan－１b＋􀆺＋Cknan－kbk＋􀆺 ＋Cnnbn(n∈N∗ )这个公式所表示的定理叫 二项式定理,右边的多项式叫(a＋b)n 的 　　　　　　．其中的系数Ckn(k＝０,１,􀆺, n)称为第k＋１项的　　　　系数．式中的 Cknan－kbk 叫二项展开式的　　　　,用Tk＋１ 表示,即通项Tk＋１＝Cknan－kbk． ２．二项展开式形式上的特点 (１)项数为　　　　． (２)各项的次数都等于二项式的幂指数n,即a 与b的指数的和为　　　　． (３)字母a按　　　　排列,从第一项开始,次数 由n逐项减１直到零;字母b按　　　　排 列,从第一项起,次数由零逐项增１直到n． (４)二 项 式 的 系 数 从 　 　 　 　,C１n,一 直 到 Cn－１n ,　　　　． ３．二项式系数的性质 (１)对称性:与首末两端“等距离”的两个二项 式系数　　　　,即　　　　　　　　． (２)增减性与最大值: 二项式系数Ckn,当k＜ n＋１ ２ 时,二项式系数 逐渐　　　　．由对称性知它的后半部分 是逐渐减小的; 当n是偶数时,中间一项C n ２ n 取得最大值; 当n是奇数时,中间两项C n－１ ２ n ,C n＋１ ２ n 取得最 大值． (３)各二项式系数和:C０n＋C１n＋C２n＋􀆺＋Ckn＋􀆺 ＋Cnn＝　　　　　　;C０n＋C２n＋C４n＋􀆺＝ C１n＋C３n＋C５n＋􀆺＝　　　　　　． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．展开式　二项式　通项公式　２．(１)n＋１ (２)n　(３)降幂　升幂　(４)C０n　Cnn ３．(１)相等　Crn＝Cn－rn 　(２)增大　(３)２n　２n－１ １．二项式的项数与项 (１)二项式的展开式共有n＋１项,Cknan－kbk 是 第k＋１ 项．即 k＋１ 是 项 数,Cknan－kbk 是项． (２)通项是Tk＋１＝Cknan－kbk(k＝０,１,２,􀆺,n)． 其中含有Tk＋１,a,b,n,k五个元素,只要知 道其中四个即可求第五个元素． ２．二项式系数与展开式项的系数的异同 在Tk＋１＝Cknan－kbk 中,Ckn 就是该项的二项 式系数,它与a,b的值无关;而Tk＋１项的系 数是指化简后字母外的数． ３．二项式定理的应用 (１)通项的应用:利用二项展开式的通项可求 指定的项或指定项的系数等． (２)展开式的应用:利用展开式①可证明与二 项式系数有关的等式;②可证明不等式; ③可证明整除问题;④可做近似计算等． １．在 ２x２－１x æ è ç ö ø ÷ ５ 的二项展开式中,x的系数为 (　　) A．１０　　　　　　　B．－１０ C．４０ D．－４０ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５２􀅰 ２．若(x－１)４＝a０＋a１x＋a２x２＋a３x３＋a４x４． 则a０＋a２＋a４ 的值为 (　　) A．９ B．８ C．７ D．６ ３．x２＋２x æ è ç ö ø ÷ ５ 的展开式中x４ 的系数为 (　　) A．１０ B．２０ C．４０ D．８０ ４．(１－ x)８(１＋ x)５ 的展开式中x２ 的系 数是 (　　) A．－５ B．１０ C．－１５ D．２５ ５．(多选)(１＋sinx)６ 的二项展开式中,二项 式系数最大的一项的值为５ ２ ,则x在[０,２π] 内的值可能为 (　　) A．π６ B． π ３ C．２π３ D． ５π ６ ６．(多选)已知(３－ x)２０２３,则下列结论正确 的是 (　　) A．该二项展开式中各项的二项式系数的和 与各项的系数的和相等 B．该二项展开式中的常数项为３２０２３ C．该 二 项 展 开 式 中 含 x１０１１ 的 项 的 系 数 是－６０６９ D．该二项展开式中的有理项的二项式系数