假期作业十二 离散型随机变量的均值与方差和正态分布-【快乐假期】2024高二数学寒假作业高考状元假期学习方案（新教材，人教B版）

　　　　　十二、离散型随机变量的均值 与方差和正态分布 １．离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X 的分布列为 X x１ x２ 􀆺 xk 􀆺 xn P p１ p２ 􀆺 pk 􀆺 pn (１)均值 称E(X)＝　　　　　　　　为随机变量 X 的均值或　　　　,它反映了离散型随 机变量取值的　　　　　　　． (２)方差 称D(X)＝∑ n k＝１ (xk－E(X))２pk 为随机变量 X 的方差,它刻画了随机变量X 与其均值 E(X)的 　 　 　 　 　 　,其 算 术 平 方 根 D(X)为随机变量X 的标准差． ２．均值与方差的性质 (１)E(aX＋b)＝　　　　． (２)D(aX＋b)＝　　　　(a,b为常数)． ３．正态曲线的性质 正态曲线φμ􀅰σ(x)＝ １ σ ２π e－ (x－μ) ２ ２σ２ ,x∈R有以下 性质: (１)曲线位于x轴　　　　,与x轴　　　　; (２)曲线是单峰的,它关于直线　　　　对称; (３)曲线在　　　　处达到峰值 １ σ ２π ; (４)曲线与x轴之间的面积为１; (５)当　　　　一定时,曲线的位置由μ确定, 曲线随着μ的变化而沿x 轴平移,如图①; (６)当μ一定时,曲线的形状由σ确定,σ　　 　　,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集 中;σ　　　　,曲线越“矮胖”,表示总体 的分布越分散,如图②． ４．正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝　　　　; P(μ－２σ＜X≤μ＋２σ)＝　　　　; P(μ－３σ＜X≤μ＋３σ)＝　　　　． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．(１)x１p１＋x２p２＋􀆺＋xkpk＋􀆺＋xnpn　 数学期望　平均水平　(２)离散程度 ２．(１)aE(X)＋b　(２)a２D(X)　３．(１)上方 不相交　(２)x＝μ　(３)x＝μ　(５)σ　(６)越 小　越大　４．０．６８２６　０．９５４４　０．９９７４ １．对均值(或数学期望)的理解 (１)期望是算术平均值概念的推广,是概率意义 下的平均． (２)E(X)是一个实数,由 X 的分布列唯一确 定,即X 作为随机变量是可变的,而E(X) 是不变的,它描述X 值取值的平均状态． (３)公式E(X)＝x１p１＋x２p２＋􀆺＋xnpn 直接 给出了E(X)的求法,即随机变量取值与相 应概率值分别相乘后相加．由此可知,求出 随机变量的数学期望关键在于写出它的分 布列． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１３􀅰 ２．方差的意义 D(X)表示随机变量X 对E(X)的平均偏离 程度,D(X)越大表明平均偏离程度越大,说 明X 的取值越分散,反之D(X)越小,X 的 取值越集中,由方差定义知,方差是建立在 期望这一概念之上的．在E(X)附近,统计 中常用 D(X)来描述X 的分散程度． ３．正态总体在某个区间内取值的概率求法 (１)熟记P(μ－σ＜X≤μ＋σ),P(μ－２σ＜X≤ μ＋２σ),P(μ－３σ＜X≤μ＋３σ)的值． (２)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴 之间的面积为１． １．若ξ~B(n,p)且E(ξ)＝６,D(ξ)＝３,则P(ξ ＝１)的值为 (　　) A．３􀅰２－２ B．３􀅰２－１０ C．２－４ D．２－８ ２．设随机变量的分布列如表所示,且E(ξ)＝ １．６,则a×b＝ (　　) ξ ０ １ ２ ３ P ０．１ a b ０．１ A．０．２ B．０．１ C．０．１５ D．０．４ ３．设随机变量X~N(２,９),且P(X＞m)＝ P(X＜m－４),则m 的值为 (　　) A．１ B．２ C．３ D．４ ４．某射手射击所得环数ξ的分布列如下: ξ ７ ８ ９ １０ P x ０．１０．３ y 已知ξ的数学期望E(ξ)＝８．９,则y的值为 (