假期作业二 立体几何中的向量方法-【快乐假期】2024高二数学寒假作业高考状元假期学习方案（新教材，人教B版）

　　二、立体几何中的向量方法　　　　　　　 １．两条异面直线所成角的求法 设两条异面直线a,b的方向向量为a,b,其 夹角为θ,则cosφ＝|cosθ|＝　　　　(其 中φ为异面直线a,b所成的角)． ２．直线和平面所成的角的求法 如图所示,设直线l的方向向量为e,平面α 的法向量为n,直线l与平面α 所成的角为 φ,两向量e与n 的夹角为θ,则有sinφ＝ |cosθ|＝　　　　． ３．求二面角的大小 (１)如图①,AB,CD 是二面角α－l－β的两个 面内与棱l 垂直的直线,则二面角的大 小θ＝　　　　． (２)如图②③,n１,n２ 分别是二面角α－l－β的 两个半平面α,β的法向量,则二面角的大 小θ＝　　　　． ４．点面距离的求法 设n是平面α 的法向量, AB 是 平 面α 的 一 条 斜 线,则点B 到平面α的距离为　　　　　　 　　(如图)． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．|a 􀅰b| |a||b|　２． |n􀅰e| |n||e|　３． (１)‹AB → ,CD → › (２)‹n１,n２›(或π－‹n１,n２›) ４．|BA → 􀅰n| |n| 向量法证明空间几何问题的两种基本思路 　思路一:用向量表示几何量,利用向量的运 算进行判断． 思路二:用向量的坐标表示几何量,共分 三步: (１)建立立体图形与空间向量的联系,用空间 向量(或坐标)表示问题中所涉及的量,把 立体几何问题转化为向量问题． (２)通过向量运算,研究点、线、面之间的位置 关系． (３)根据运算结果 的 几 何 意 义 来 解 释 相 关 问题． １．若两个不同平面α,β的法向量分别为u＝ (１,２,－１),v＝(－３,－６,３),则 (　　) A．α∥β B．α⊥β C．α,β相交但不垂直 D．以上均不正确 ２．若平面α的法向量n,直线l的方向向量为 a,直线l与平面α 的夹角为θ,则下列关系 成立的是 (　　) A．cosθ＝ n 􀅰a |n||a| B．cosθ＝ |n􀅰a| |n||a| C．sinθ＝ n 􀅰a |n||a| D．sinθ＝ |n􀅰a| |n||a| 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４􀅰 ３．在长方体ABCD－A１B１C１D１ 中,AB＝BC ＝１,AA１＝ ３,则异面直线AD１ 与DB１ 所 成角的余弦值为 (　　) A．１５ B． ５ ６ C． ５ ５ D． ２ ２ ４．把边长为a(a＞０)的正△ABC 沿高线AD 折成６０°的二面角,则点A 到BC 的距离是 (　　) A．a B．６２a C．３３a D． １５ ４a ５．(多选)将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直 二面角,给出下列四个结论,正确的是 (　　) A．AC⊥BD B．AB,CD 所成的角为６０° C．△ADC为等边三角形 D．AB 与平面BCD 所成角为６０° ６．(多 选)如 图,在 正 四 面 体 ABCD 中,E 为CD 中点,F 为BC 中点,则下面是平面 AEB 的法向量的为 (　　) A．CE → B．DE → C．FE → D．CD → ７．如图所示,已知正四面体ABCD 中,AE＝１４AB ,CF＝１４CD ,则 直线DE 和BF 所成角的余弦 值为　　　　． ８．在 四 面 体 ABOC 中,OC⊥OA,OC⊥OB, ∠AOB＝１２０°,且OA＝OB＝OC＝１．则二面 角O－AC－B的平面角的余弦值为　　　． ９．若a＝(２,－３,５),b＝(－３,１,－４), 则|a－２b|＝　　　　． １０．在正三棱柱ABC－A１B１C１ 中,若AB＝２, A１A＝１,则点 A 到平面A１BC 的距离为 　　　　． １１．在棱长为 １ 的正方体 ABCDＧA１B１C１D１ 中,M,N,E,F 分 别 是 棱 A１B１,A１D１, B１C１,C１D１ 的中点．证明平面AMN