第23讲 圆的综合证明型问题专题复习-【专题突破】2023-2024学年九年级数学下册重难点及章节分类精品讲义（浙教版）

第23讲 圆的综合证明问题专题复习 【知识点睛】 · 第一问常考考点——切线 1. 切线的判定：常用方法→ 有切点，连半径，证垂直！ 无切点，作垂直，证半径！ ☆特别地： 题目中所需证的垂直，一般是由已知垂直转化而来的，故有“想证⊥，先找⊥” 2. 切线的性质：常用方法→见切点，连半径，得垂直！ 因切线所得结论必为⊥，故常以直角三角形来展开后续问题 · 考题常见结合考点 1. 知2得1： 2. 三角形相似： 3. Rt△勾股定理：圆中求长度，垂径＋勾股！ 4. 三角函数：相似三角形与三角函数不分家，所以应用方法类似； 特殊之处是：给三角函数，必“找”Rt△ 5. 特殊角： 常见特殊角有→15°、30°、45°、60°、75°、105°、120°、135°、150°、 正切值=½ / ⅓ / ¾ 等的角度。 ☆特别地：题目中没给角度（90°、180°除外），又要求角度时，答案一般为特殊角！ 另： 6. 弧长与扇形面积：不规则图形面积想割补法 常用公式： 常用辅助线 ①连半径——有关切线时，连接的是过切点的半径 ②作弦心距——构造Rt△，进而用知2得3 ——或做两条弦心距，构造矩形或正方形 ③连接弦——使直径所对的圆周角=90°，进而在Rt△中展开问题 【类题讲练】 1．如图，△ABC中，AB＝AC，AH⊥BC于H，BD⊥AC于D，AH，BD相交于点O，以O为圆心、OD为半径的⊙O交BC于点E、F，已知AD＝6，BD＝8． （1）求证：AB是⊙O的切线； （2）求⊙O的半径； （3）求弦EF的长． 2．如图，已知等腰△ABC中，AB＝BC，以AB为直径的⊙O与BC交于点E，与AC交于点D． （1）求证：AD＝ED； （2）若AC＝6． ①设CE＝x，⊙O的半径为r，求r关于x的函数表达式． ②当x＝r时，求图中阴影部分的面积． 3．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AE平分∠BAC，交BC于点E，点D在AC上，以AD为直径的⊙O经过点E，点F在⊙O上，且EF平分∠AED，交AC于点G，连接DF． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）求证：△DEF∽△GDF； （3）若cos∠CAE＝，DF＝6，直接写出线段OG的长． 4．如图，△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC交⊙O于点D，过点D作DE∥BC交AC的延长线于点E． （1）求证：OD⊥DE． （2）若∠E＝60°，⊙O的半径为5，求AB的长． （3）在（2）的条件下，连结CD，记∠ADC＝α，∠CDE＝β，探究α与β的数量关系． 5．直角三角板ABC的斜边AB的两个端点在⊙O上，已知∠BAC＝30°，直角边AC与⊙O相交于点D，且点D是劣弧AB的中点． （1）如图1，判断直角边BC所在直线与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）如图2，点P是斜边AB上的一个动点（与A、B不重合），DP的延长线交⊙O于点Q，连接QA、QB．在下列三个条件中选择两个作为已知条件，求出PQ的长度； ①AD＝6，②AB＝6，③PD＝4，你选择的是 　 　．并写出求解过程． （3）若AD＝6，当点P在斜边AB上从A运动到B的过程中，求点Q的运动路径长． 6．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作MN⊥AC，垂足为M，交AB的延长线于点N，过点B作BG⊥MN，垂足为G，连接CN． （1）求证：直线MN是⊙O的切线； （2）求证：BD2＝AC•BG； （3）若BN＝OB，求tan∠ANC的值． 7．如图，在⊙C中，ED为直径，点A为直径ED延长线上一点，点B为⊙C上一点，连接AB，且AB为⊙C切线，连接BD，BE． （1）如图1，当AB＝8，ED＝12时，求AE的长； （2）如图2，若tan∠BAE＝，作∠BAE的平分线AF，且与BE交于点F；若AF＝2，求⊙C的半径． 8．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD＝4，BC＝10，sinC＝，以AB为直径作⊙O，把⊙O沿水平方向平移x个单位，得到⊙O′，A'B'为直径AB平移后的对应线段． （1）当x＝0，且M为⊙O上一点时，求DM的最大值； （2）当B′与C重合时，设⊙O′与CD相交于点N，求点N到AB的距离； （3）当⊙O′与CD相切时，直接写出x的值 　 　． 9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为对角线，AC＝AD，直径AE交CD于点F，连接DE． （1）如图1，求证：AE⊥CD； （2）如图2，连接BD交AC于点G，∠AGD+∠ADC＝180°，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，过点G作GH⊥CD于H，过点A作AM∥BD交⊙O于点M，若BG＝GH，AE＝10，求线段