【模拟题精选】专题2.3 立体几何与空间向量-高三一轮复习汇编

专题2.3 立体几何与空间向量 题组一、线面、面面角的计算 1-1、（2024届江苏连云港高三第二次学情检测数学试题）（12分） 如图，直三棱柱中，，平面平面． (1) 求证：； (2) 求二面角的正弦值． . 1-2、（2024届江苏金湖高三数学模拟试卷）如图，在多面体中，矩形所在平面与正方形所在平面垂直，，是的中点． （1）求证：∥平面； （2）若与平面所成的角为，求平面与平面所成二面角的正弦值．A E C B F D M 1-3、（深圳市云顶学校高中部2023～2024学年上学期高三数学期中考试卷） 如图，四棱柱中，平面，. （1）求证：平面； （2）若与平面所成角为，求平面与平面夹角的余弦值. 1-4、（河北五岳联盟高三上学期11月联考数学试题）如图1，在高为2的等腰梯形中，，点分别为边的中点.将四边形沿翻折到，使得为直二面角，连接得到图2，点为的中点. （1）证明：平面； （2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值. 1-5、（厦门双十中学2023-2024学年高三上学期期中考试）如图所示，为等边三角形，平面，，，，为线段上一动点． （1）若为线段的中点，证明：． （2）若，求二面角的余弦值． 1-6、（普宁二中2023-2024学年第一学期高三级期中考试）如图，在三棱柱中，四边形是边长为4的正方形，平面平面． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； 1-7、（中大附中2024学年第一学期期中质量检测）如图，五面体中，平面为直角梯形， . （1）若为的中点，求证：平面； （2）求二面角的余弦值. 题组二、距离、长度及的范围问题 2-1、（2023—2024学年度江苏徐州第一学期高三年级期中抽测数学试题）如图，在三棱锥中，侧面是锐角三角形，，平面平面． （1）求证：； （2）若，，点D在棱（异于端点）上，当三棱锥体积最大时，若二面角大于30°，求线段长的取值范围． 2-2、（杭州市2023-2024学年高三上学期11月期中数学试题） 在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，且底面，与底面成角，且． （1）求证：； （2）当直线与平面所成角的正弦值为时，求的值． 2-3、（2023~2024学年高三（上）质检联盟期中考试）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，为的中点，且．记的中点为，若在线段上（异于、两点）． （1）若点是中点，证明：面； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长． 2-4、（山东昌乐中学高三年级期中模拟检测一） 如图，在三棱柱中，为等边三角形，四边形是边长为正方形，为中点，且. （1）求证：平面； （2）若点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离. 题组三、探索性问题 3-1、（湖南师范大学附属中学2024届高三上学期月考(二)数学试题） 在三棱柱ABC-A1B1C1中，四边形AA1B1B是菱形，AB⊥AC，平面平面，平面A1B1C1与平面AB1C的交线为l. （1）证明：； （2）已知∠ABB1=60°，AB=AC=2.l上是否存在点P，使A1B与平面ABP所成角为30°?若存在，求B1P的长度；若不存在，说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.3 立体几何与空间向量 题组一、线面、面面角的计算 1-1、（2024届江苏连云港高三第二次学情检测数学试题）（12分） 如图，直三棱柱中，，平面平面． (1) 求证：； (2) 求二面角的正弦值． . 解：（1）证明：过点作于点， 平面平面，平面平面，平面， 平面，， 直三棱柱中，平面，平面， ， ，平面， 平面，； （2）如图，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系， ，， ，2，，，0，，，0，，，2，， 则，0，，，，，，2，，，0，， 设平面的法向量为，，，则，取，得，1，， 设平面的法向量为，，，则，取，得，3，， ， 二面角的正弦值为． 1-2、（2024届江苏金湖高三数学模拟试卷）如图，在多面体中，矩形所在平面与正方形所在平面垂直，，是的中点． （1）求证：∥平面； （2）若与平面所成的角为，求平面与平面所成二面角的正弦值．A E C B F D M （1）【证明】设中点为，中点为，中点为，A E C B F D M N G H x y z 连结． 因为是的中点，是正方形， 所以，， 所以四边形是平行四边形， 同理，四边形是平行四边形， 所以． 因为平面，平面， 所以∥平面． （2）【解】由题知，平面平面，， 平面平面，平面，