4.5.1函数的零点与方程的解 课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

4.5.1函数的零点与方程的解 在人类用智慧架设的无数座从未知通向已知的金桥中,方程的求解是其中璀璨的一座.虽然今天我们可以从教科书中了解各式各样方程的解法，但这一切却经历了相当漫长的岁月. 我国古代数学家已比较系统地解决了部分方程求解的问题. 约公元50年—100年编成的《九章算术》，就以算法形式给出了求一次方程、二次方程和正系数三次方程根的具体方法… 复习引入 中外历史上的方程求解 13世纪，南宋数学家秦九韶给出了求任意次代数方程的正根的解法。 11世纪，北宋数学家贾宪给出了三次及三次以上的方程的解法。 7世纪，隋唐数学家王孝通找出了求三次方程正根的数值解法。 国外数学家对方程求解亦有很多研究。9世纪以后，先后发现了一次、二次、三次、四次方程的求解方法。 由于实际问题的需要，我们经常需要寻求函数y=f(x)的零点。 阿贝尔 19世纪挪威数学家阿贝尔 证明了五次及五次以上代数方程没有根式解。指数方程、对数方程等超越方程也没有求根公 方程实例求解 我的根是 我的根是3和-1 怎么解呢？ 我的根有点难度，等你们学完这节你们就会了！！！ 判别式 >0 0 <0 y=ax2+bx+c 的图象 ax2+bx+c=0 的根 x y x1 x2 0 x y 0 x1 x y 0 函数的图象与 x 轴的交点 两个交点(x1,0) , (x2,0) 无交点 有两个相等的实数根x1 = x2 无实数根 两个不相等的实数根x1 、x2 结论：一元二次方程的根就是相应的二次函数图象与x轴交点的横坐标。若一元二次方程无实数根，则相应的二次函数图像与x轴无交点。 一元二次方程的根与相应二次函数的图象的关系 回顾 （我们以a>0为例） 其他函数与方程之间也有同样结论吗？ 方程f(x)=0的实数根 函数y= f(x)图象与x轴交点的横坐标 0 x y x1 x2 x3 x4 y=f(x) 推广到更一般的情况，得： 我们已经学习了用二次函数的观点认识一元二次方程，知道一元二次方程的实数根就是相应的二次函数的零点。像这样不能用公式求解的方程，是否也能采用类似的方法，用相应的函数研究它的解的情况？ 思考 新知探究 与二次函数的零点一样，对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． 1.函数零点的定义： 零点是一个点吗? 注意： 函数的零点是实数，而不是点，是相应方程的根。 这样，函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数解，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的公共点的横坐标。 所以 2.等价关系 10 函数 1.函数 的零点是( ) A. （-1,0) , (3,0) B. C. D.-1和3 你试一试！ 练习： 2.求下列函数的零点。 (1)f(x)=－x2-x+20； (2)f(x)=2x-1; 　 评注：求函数的零点就是求相应的方程的根，一般可以借助求根公式或因式分解等办法，求出方程的根，从而得出函数的零点。 1.观察二次函数f(x)＝x2－2x－3的图象： ①在区间[-2，1]上有零点______； f(-2)=_______，f(1)=_______， f(-2)·f(1)_____0(“＜”或“＞ ”)． －1 －4 5 < -2 2 -2 -4 1 O 1 2 3 4 -3 -1 -1 y x 在怎样的条件下，函数y＝f(x)在区间[a,b]上存在零点？ 思考 ②在区间[2,4]上是否也具有这种特点呢？ 知识探究 2.观察函数的图象并填空: ①在区间(a,b)上f(a)·f(b)_____0(“＜”或“＞”)． 在区间(a,b)上______(有/无)零点； ② 在区间(b,c)上f(b)·f(c) _____ 0(“＜”或“＞”)． 在区间(b,c)上______(有/无)零点； ③ 在区间(c,d)上f(c)·f(d) _____ 0(“＜”或”＞”)． 在区间(c,d)上______(有/无)零点； 有 < 有 < 有 < x y O a b c d 3.函数零点存在性定理： 函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)•f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c