第五章 二元一次方程组——二元一次方程组的应用 讲义 2023—-2024学年北师大版八年级数学上册

第十七讲 二元一次方程组的应用 【知识点 1】鸡兔同笼 【知识点 2】增收节支 【知识点 3】里程碑上的数 考点一 ※ 鸡兔同笼 例 《一千零一夜》中有这样一段文字：有一群鸽子，其中一部分在树上欢歌，另一部分在地 上觅食，树上的一只鸽子对地上的觅食的鸽子说： “若从你们中飞上来一只，则树下的鸽子 就是整个鸽群的 ；若从树上飞下去一只，则树上、树下的鸽子有一样多了．”你知道树 上、树下各有多少只鸽子吗？ 练习 根据图中给出的信息，解答下列问题： （1）放入 1 个小球水面升高 cm ，放入 1 个大球水面升高 cm； （2）如果要使水面上升到 50cm，应放入大球、小球各多少个？ 考点二 ※ 增收节支 例 甲、乙两件服装的成本共 500 元，商店老板为获取利润，决定将甲服装按 50%的利润定 价，乙服装按 40%的利润定价.在实际出售时，应頋客要求两件服装均按 9 折出售，这样商 店共获利 157 元.求甲乙两件服装的成本. 练习 某企业去年结余 50 万元.今年的收入比去年增加了 10％，支出比去年节约了 20％，今年结 余 100 万元.设去年的收入为 x 万元，支出为y 万元， 可列方程组为 考点三 ※ 配套问题 例 上杭教育服装厂要生产一批某种型号的学生服装，已知 3 米长的布料可做上衣 2 件或裤子 3 条， 一件上衣和一条裤子为一套，计划用 600 米长的这种布料生产，应分别用多少布料 生产上衣和裤子才能恰好配套?共能生产多少套？ 练习 某厂共有 120 名生产工人， 每个工人每天可平均生产螺栓 30 个或螺母 20 个，如果一个螺栓 与两个螺母配成一套，那么每天安排多少名工人生产螺栓， 多少名工人生产螺母， 才能使每 天生产出来的产品刚好配套？ 考点四 ※ 方案设计 例 春节期间，某商场计划购进甲、乙两种商品，已知购进甲商品 2 件和乙商品 3 件共需 270 元；购进甲商品 3 件和乙商品 2 件共需 230 元. （1）求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？ （2）商场决定甲商品以每件 40 元出售，乙商品以每件 90 元出售，为满足市场需求，需购 进甲、乙两种商品共 100 件，且甲种商品的数量不少于乙种商品数量的 4 倍，请你求出获 利最大的进货方案，并求出最大利润. 练习 在一次春游中，小明、小亮等同学随家人一同到江郎山旅游，成人票 40 元/张，学生按成 人票五折优惠．团体票（14 人及以上）按成人票六折优惠．下面是购买门票时，小明与他 爸爸的对话. 爸爸：大人门票每张 40 元，学生票五折优惠，我们共 11 人，需要 360 元. 小明：爸爸等一下，让我算一算，更换一个方式买票是否可以更省钱！ （1）小明他们一共去了几个成人，几个学生？ （2）请你帮助小明算一算，用哪种方式买票更省钱？并说明理由. 考点五 ※ 列方程组解决住房问题 例 某宾馆的客房有三人间和两人间两种，三人间每人每天 25 元，两人间每人每天 35 元， 一 个 50 人的旅游团到该宾馆住宿，租住了若干客房，且每个客房正好住满， 一天共花去住宿 费 1510 元，设租住三人间x 间，两人间y 间，则可列方程组 . 练习 “我问开店李三公，众客都来到店中， 一房七客多七客， 一房九客一房空” ．问有多少间 房，多少客人？ 则可列方程组 . 考点六 ※ 数字问题和年龄问题 例 1.一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和是 7，若把这个两位数加上 45，则恰好 成为个位上的数字与十位上的数字对调后组成的两位数，求这个两位数. 2.学生问老师：“您今年多大？”教师风趣地说：“我像你这么大时，你才 2 岁；你到我 这么大时， 我已经 38 岁了． ”教师今年 岁. 练习 1.一个两位数，个位上的数字与十位上的数字之和为 6，若在其中间加一个 0，所得三位数 与原两位数的和为 228，则原数是 . 2.今年，小李的年龄是他爷爷的五分之一.小李发现， 12 年之后，他的年龄变成爷爷的三分 之一，试求出今年小李的年龄. 考点七 ※ 行程问题 例 李明同学早上骑自行车上学，中途因道路施工步行一段路，到学校共用时 15 分钟．他骑自 行车的平均速度是 250 米/分钟，步行的平均速度是 80 米/分钟．他家离学校的距离是 2900 米．如果他骑车和步行的时间分别为 x、y 分钟，可列出的方程是 练习 从甲地到乙地有一段上坡与一段平路．如果保持上坡每小时走 3km，平路每小时走 4 km ，下坡每小时走 5 km