4.3 等比数列 (题型精讲精练）-【题型分类精粹】2023-2024学年高二数学上学期期中期末复习讲练系列【考点闯关】（人教A版2019）

4.3 等比数列 1. 理解等比数列的定义.会推导等比数列的通项公式，能运用等比数列的通项公式解决一些简单的问题.掌握等比中项的概念. 2. 能根据等比数列的定义推出等比数列的常用性质.能运用等比数列的性质解决有关问题. 3. 掌握等比数列前n项和公式及求取思路，熟练掌握等比数列的五个量之间的关系并能由三求二，能用通项与和求通项. 4. 会利用等比数列性质简化求和运算，会利用等比数列前n项和的函数特征求最值. 5. 能处理与等比数列相关的综合问题。 课标解读： 1.通过本节课的学习，要求能应用等比数列的定义判断等比数列，会应用等比数列的通项公式进行基本量的求解，能应用等比数列的性质解决与等比数列相关的问题. 2.通过本节课的学习，要求能掌握等比数列的通项与前n项和的相关计算公式，能熟练处理与等比数列的相关量之间的关系，用函数的思想解决等比数列的相关问题，会利用等比数列的性质灵活解决与之相关的问题. 14.3 等比数列 1 一、主干知识 2 考点1：等比数列概念及相关性质 2 考点2：等比数列的前n项和公式 3 二、分类题型 5 题型一 等比数列的概念 5 命题点1　等比数列的定义 5 命题点2　等比中项及其应用 5 命题点3　利用定义判定等比数列 5 命题点4　等比数列通项公式的基本量计算 6 命题点5　由递推公式证明等比数列 6 命题点6　验证是否是等比数列中的项 6 命题点7　等比数列下标和性质及其应用 7 命题点8　等比数列子数列的性质及其应用 7 命题点9　正项等比数列的对数成等差数列的应用 7 命题点10　等比数列的其他性质 8 命题点11　等比数列的通项公式的指数函数特征 8 题型二 等比数列的前n项和公式 9 命题点1　求等比数列的前n项和 9 命题点2　等比数列前n项和的基本量计算 9 命题点3　等比数列片段和性质及其应用 9 命题点4　等比数列奇、偶项和的性质及其应用 10 命题点5　等比数列前n项和的其他性质 10 命题点6　等比数列前n项和特点 10 命题点7　前n项和与通项关系 11 命题点8　等比数列的简单应用 11 三、分层训练：课堂知识巩固 12 一、主干知识 考点1：等比数列概念及相关性质 1、等比数列的概念及通项公式 （1）如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项之比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，用表示 ( )． （2）等比数列的通项公式为，通项公式还可以写成，它与指数函数有着密切的联系，从而可以利用指数函数的性质来研究等比数列． （3）如果 成等比数列，那么叫做与的等比中项，且， 进而可知与等比数列中的任一项“等距离”的两项之积等于该项的平方，即在等比数列中， ． （4）递推公式形式的定义：＝q(n>1)(或＝q，n∈N*). （5）一般地，在等比数列{an}中，若m＋n＝s＋t，则有am·an＝as·at(m，n，s，t∈N*). 若m＋n＝2k，则am·an＝a(m，n，k∈N*). 【微点拨】1.等比中项与等差中项的异同，对比如下表： 对比项 等差中项 等比中项 定义 若a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项 若a，G，b成等比数列，则G叫做a与b的等比中项 定义式 A－a＝b－A ＝ 公式 A＝ G＝± 个数 a与b的等差中项唯一 a与b的等比中项有两个，且互为相反数 备注 任意两个数a与b都有等差中项 只有当ab＞0时，a与b才有等比中项 2. (1)在等比数列{an}中按序号从小到大取出若干项：若k1，k2，k3，…，kn，…成等差数列，那么是等比数列. (2)如果{an}，{bn}均为等比数列，那么数列，{an·bn}，，{|an|}是等比数列. (3)等比数列各项均不能为0. 考点2：等比数列的前n项和公式 1.等比数列的前n项和公式 已知量 首项a1，项数n与公比q 首项a1，末项an与公比q 公式 Sn＝ Sn＝ 2.等比数列前n项和公式的函数特征 当公比q≠1时，设A＝，等比数列的前n项和公式是Sn＝A(qn－1).即Sn是n的指数型函数. 当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1，Sn是n的正比例函数. 3. 等比数列前n项和的性质 等比数列{an}前n项和的三个常用性质 (1)数列{an}为公比不为－1的等比数列，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍构成等比数列. (2)若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N*). (3)若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和， 则：①在其前2n项中，＝q； ②在其前2n＋1项中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝＝