2024届高考数学一轮复习 讲义：超几何分布

课题：超几何分布 知识点 超几何分布：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P（X＝k）＝，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，称随机变量X服从超几何分布． X 0 1 … m P … 【注】 1．随机变量是否服从超几何分布的判断：若随机变量X服从超几何分布，则满足如下条件： （1）该试验是不放回地抽取n次； （2）随机变量X表示抽取到的次品件数（或类似事件），反之亦然． 2．求超几何分布的分布列的步骤 第一步，验证随机变量服从超几何分布，并确定参数N，M，n的值； 第二步，根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率； 第三步，用表格的形式列出分布列． 典型例题 例1在含有3件次品的10件产品中，任取4件，X表示取到的次品数，则P（X＝2）＝________． 例2某项大型赛事，需要从高校选拔青年志愿者，某大学学生实践中心积极参与，从8名学生会干部（其中男生5名，女生3名）中选3名参加志愿者服务活动．若所选3名学生中的女生人数为X，求X的分布列． 例3天津市某中学为全面贯彻“五育并举，立德树人”的教育方针，促进学生各科平衡发展，提升学生综合素养．该校教务处要求各班针对薄弱生成立特色“兴趣学习小组”（每位学生只能参加一个小组），以便课间学生进行相互帮扶．已知该校某班语文､数学､英语三个兴趣小组学生人数分别为10人､10人､15人．经过一段时间的学习，上学期期中考试中，他们的成绩有了明显进步．现采用分层抽样的方法从该班的语文，数学，英语三个兴趣小组中抽取7人，对期中考试这三科成绩及格情况进行调查． （1）应从语文，数学，英语三个兴趣小组中分别抽取多少人？ （2）若抽取的7人中恰好有5人三科成绩全部及格，其余2人三科成绩不全及格．现从这7人中随机抽取4人做进一步的调查． ①记表示随机抽取4人中，语文，数学，英语三科成绩全及格的人数，求随机变量的分布列和数学期望； ②设为事件“抽取的4人中，有人成绩不全及格”，求事件发生的概率． 例4港珠澳大桥是一座具有划时代意义的大桥．它连通了珠海香港澳门三地，大大缩短了三地的时空距离，盘活了珠江三角洲的经济，被誉为新的世界七大奇迹．截至2019年10月23日8点，珠海公路口岸共验放出入境旅客超过1400万人次，日均客流量已经达到4万人次，验放出入境车辆超过70万辆次，2019年春节期间，客流再次大幅增长，日均客流达8万人次，单日客流量更是创下11．3万人次的最高纪录． 2019年从五月一日开始的连续100天客流量频率分布直方图如下 （1）①同一组数据用该区间的中点值代替，根据频率分布直方图．估计客流量的平均数． ②求客流量的中位数． （2）设这100天中客流量超过5万人次的有天，从这天中任取两天，设为这两天中客流量超过7万人的天数．求的分布列和期望． 例4 “微信运动”是手机推出的多款健康运动软件中的一款，某学校140名老师均在微信好友群中参与了“微信运动”，对运动10000步或以上的老师授予“运动达人”称号，低于10000步称为“参与者”，为了解老师们运动情况，选取了老师们在4月28日的运动数据进行分析，统计结果如下： 运动达人 参与者 合计 男教师 60 20 80 女教师 40 20 60 合计 100 40 140 （Ⅰ）根据上表说明，能否在犯错误概率不超过0．05的前提下认为获得“运动达人”称号与性别有关？ （Ⅱ）从具有“运动达人”称号的教师中，采用按性别分层抽样的方法选取10人参加全国第四届“万步有约”全国健走激励大赛某赛区的活动，若从选取的10人中随机抽取3人作为代表参加开幕式，设抽取的3人中女教师人数为，写出的分布列并求出数学期望． 参考公式：，其中． 参考数据： 0．050 0．010 0．001 3．841 6．635 10．828 举一反三 1．在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用．现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示． （1）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率； （2）用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列． 2．某项大型赛事，需要从高校选拔青年志愿者，某大学学生实践中心积极参与，从8名学生会干部（其中男生5名，女生3名）中选3名参加志愿者服务活动．若所选3名学生中的女生人数为X，求X的分布列．