5.2.2 导数的四则运算法则-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册同步全程学习课件PPT（人教A版）

5.2.2　导数的四则运算法则 数学 学习目标 1.了解求导法则的证明过程,达成逻辑推理的核心素养. 2.掌握函数和、差、积、商的求导法则,能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数,发展学生的数学运算素养. 数学 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 数学 知识梳理·自主探究 知识探究 [问题] (1)如何利用导数的定义求函数y=f(x)+g(x)的导数? 数学 (2)你能利用导数的定义求出函数y=f(x)g(x)的导数吗? 数学 数学 导数运算法则 f′(x)±g′(x) f′(x)g(x)+f(x)g′(x) 数学 特别地: (1)当g(x)=c(c为常数)时,[cf(x)]′= ; cf′(x) [思考] 设f(x)=tan x,如何求f′(x)? 数学 [做一做] (1)已知函数f(x)=-cos x+ln x,则f′(1)的值为(　 　) A.sin 1-1 B.1-sin 1 C.1+sin 1 D.-1-sin 1 答案:(1)C 数学 (2)函数y=x2cos x的导数为(　 　) A.2xcos x-x2sin x B.-2xsin x C.2xcos x+x2sin x D.xcos x-x2sin x 解析:(2)因为y=x2cos x, 所以y′=(x2)′cos x+x2(cos x)′=2xcos x-x2sin x.故选A. 答案:(2)A 数学 答案:(3)1 数学 师生互动·合作探究 [例1] 求下列函数的导数. 探究点一 用导数的加法与减法法则求导数 (1)y=2x3+x2-x+1; 解:(1)y′=(2x3)′+(x2)′-(x)′+(1)′=6x2+2x-1. (2)y=x4+cos x; 解:(2)y′=(x4)′+(cos x)′=4x3-sin x. 数学 [例1] 求下列函数的导数. (3)y=ex+ln x. 数学 方法总结 (1)两个函数的和(或差)的求导法则:设函数f(x),g(x)是可导的,则[f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x),即两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差). (2)熟记常见基本初等函数的求导公式是进行求导运算的前提.判断所给函数解析式的结构特点,选择正确的公式和运算法则. 数学 [针对训练] 求下列函数的导数. (3)y=lg x+sin x. (2)y=5x-ln x; 数学 探究点二 利用导数的乘法与除法法则求导 [例2] 求下列函数的导数. (1)y=(2x2+3)(3x-2); 解:(1)法一　y′=(2x2+3)′(3x-2)+(2x2+3)·(3x-2)′=4x(3x-2)+ (2x2+3)×3=18x2-8x+9. 法二　因为y=(2x2+3)(3x-2)=6x3-4x2+9x-6, 所以y′=18x2-8x+9. 数学 [例2] 求下列函数的导数. (2)y=excos x-3xln x; 数学 [例2] 求下列函数的导数. 数学 方法总结 应用基本初等函数的导数公式和求导的四则运算法则可迅速解决一些简单函数的求导问题,要透彻理解函数求导法则的结构特点,熟记公式,还要注意挖掘知识的内在联系及其规律.对比较复杂的求导问题,可先进行恒等变形,再利用公式求导. 提醒:当不易直接应用导数公式时,应先对函数进行化简,再求导. 数学 [针对训练] 求下列函数的导数. (1)y=3x2+xcos x; 解:(1)y′=(3x2)′+(xcos x)′ =6x+(x)′cos x+x(cos x)′ =6x+cos x-xsin x. 数学 [针对训练] 求下列函数的导数. 数学 角度1　求导法则的逆向应用 探究点三 求导法则的应用 [例3] 已知f′(x)是一次函数,x2·f′(x)-(2x-1)·f(x)=1对一切x∈R恒成立,求f(x)的解析式. 数学 方法总结 待定系数法就是用设未知数的方法分析所要解决的问题,然后利用已知条件解出所设未知数,进而将问题解决.待定系数法常用来求函数解析式,特别是已知具有某些特征的函数. 数学 [针对训练] 设y=f(x)是二次函数,方程f(x)=0有两个相等的实根,且f′(x)=2x+1.求y=f(x)的函数表达式. 数学 角度2　求导法则在导数几何意义中的应用 数学 变式探究:本例的条件不变,求使f′(x)>0成立的x的取值范围. 数学 方法总结 (1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素.其他的条件可以进行转化,从而转化为这三个要素间的关系. (2)准确求出已知函数式的导数、切线方程是解决此类问题的关键. 数学 备用例题 [例1] 已知函数f(x)=ax2+ln x的导数为f′(x). (1)求f(1)+f′(1);