4.2.2 等差数列的前n项和公式-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册同步全程学习课件PPT（人教A版）

4.2.2　等差数列的前n项和公式 第一课时　等差数列的前n项和公式 数学 学习目标 1.探索并理解等差数列的前n项和公式,发展逻辑推理、数学抽象的核心 素养. 2.掌握等差数列的前n项和公式的应用,增强逻辑推理、数学运算的核心 素养. 数学 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 数学 知识梳理·自主探究 [问题] 如图,建筑工地上堆放着一些钢管,最上面的一层有4根,下面的每一层都比上一层多一根,共6层.在不逐个相加的情况下,你能想办法算出情景1中的这些钢管共有多少根吗? 提示:在这堆钢管的旁边再倒放上同样的一堆钢管,如图所示. 知识探究 数学 等差数列的前n项和公式 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 选用 公式 . . [思考1] 等差数列前n项和公式是利用什么方法得到的? 提示:倒序相加法. [思考2] 等差数列前n项和有怎样的函数特点? 数学 [做一做] (1)在等差数列{an}中,已知a1=2,d=2,则S5等于　　　　.  答案:(1)30 (2)记等差数列{an}的前n项和为Sn,若a3+a11+a13=9,则S17=　　　　.  答案:(2)51 数学 师生互动·合作探究 [例1] 在等差数列{an}中. (1)a1=1,a4=7,求S9; 探究点一 等差数列的基本量运算 数学 [例1] 在等差数列{an}中. (2)a3+a15=40,求S17; 数学 方法总结 等差数列中基本计算的两个技巧 (1)利用基本量求值: (2)利用等差数列的性质解题: 数学 [针对训练] 根据下列条件分别求出等差数列的前n项和. (1)a1=1,a10=21,n=10; (2)a1=100,d=-2,n=50; 数学 [针对训练] 根据下列条件分别求出等差数列的前n项和. (3)a1=2,an=32,d=2. 数学 [例2] 某化工企业在2019年底投入100万元购入一套污水处理设备.该设备每年的运转费用是0.5万元,此外每年都要花费一定的维护费,第一年的维护费为2万元,由于设备老化,以后每年的维护费都比上一年增加2万元. (1)求该企业使用该设备x年的年平均污水处理费用y(万元); 探究点二 等差数列前n项和公式的实际应用 数学 [例2] 某化工企业在2019年底投入100万元购入一套污水处理设备.该设备每年的运转费用是0.5万元,此外每年都要花费一定的维护费,第一年的维护费为2万元,由于设备老化,以后每年的维护费都比上一年增加2万元. (2)问:为使该企业的年平均污水处理费用最低,该企业几年后需要更换新的污水处理设备? 数学 方法总结 (1)与等差数列前n项和有关的应用题,其关键在于构造合适的等差数列. (2)遇到与正整数有关的应用题时,可以考虑与数列知识联系,建立数列模型,具体解决要注意以下两点: ①抓住实际问题的特征,明确是什么类型的数列模型. ②深入分析题意,确定是求通项公式an,或是求前n项和Sn,还是求项数n. 数学 [针对训练] 某人用分期付款的方式购买一件家电,价格为1 150元,购买当天先付150元,以后每月的这一天都交付50元,并加付欠款利息,月利率为1%.若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月,则分期付款的第10个月该交付多少钱?全部贷款付清后,买这件家电实际花费多少钱? 数学 备用例题 [例1] 已知在等差数列{an}中, 数学 [例1] 已知在等差数列{an}中, (2)若S12=84,S20=460,求an; 数学 [例1] 已知在等差数列{an}中, (3)若S5=24,求a2+a4. 数学 [例2] 甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动,甲第1分钟走 2 m,以后每分钟比前1分钟多走1 m,乙每分钟走5 m. (1)甲、乙开始运动后几分钟相遇? 数学 [例2] 甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动,甲第1分钟走 2 m,以后每分钟比前1分钟多走1 m,乙每分钟走5 m. (2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回,甲继续每分钟比前1分钟多走1 m, 乙继续每分钟走5 m,那么开始运动几分钟后第二次相遇? 数学 学海拾贝 利用分类讨论思想求数列{|an|}的前n项和 典例探究:已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且 S7=35,a2a4=45. (1)求数列{an}的通项公式; 思路点拨:(1)利用等差数列前n项和公式、通项公式列出方程组,求出首项和公差,由此能求出数列的通项公式. 数学 典例探究:已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且 S7=35,a2a4=45. (2)记bn=|an|,求数列{bn}的前n项和Tn. 数学 数学 方法总结 求数列{|an|}的前n项和需注意以下问题: