第四章 数列 章末总结-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册同步全程学习全书word（人教A版）

章末总结 知识辨析:判断对错.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若数列用图象表示,则从图象上看都是一群孤立的点.(　　) (2)一个确定的数列,它的通项公式只有一个.(　　) (3)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数.(　　) (4)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*都有2an+1=an+an+2.(　　) (5)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的.(　　) (6)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.(　　) (7)三个数a,b,c成等比数列的充要条件是 b2=ac.(　　) (8)满足an+1=qan(n∈N*,q为常数)的数列{an}为等比数列.(　　) (9)如果{an}为等比数列,bn=a2n-1+a2n,则数列{bn}也是等比数列.(　　) (10)若Sn=a+2a2+3a3+…+nan,当a≠0且a≠1时,Sn的值可用错位相减法求得.(　　) 答案:(1)√　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√ (6)× (7)×　(8)×　(9)×　(10)√ 题型一　等差(比)数列的基本量运算 [例1] (1)(2019·全国Ⅲ卷)已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15,且a5=3a3+4a1,则a3=(　　) A.16 B.8 C.4 D.2 (2)(2019·全国Ⅲ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a3=5,a7=13,则S10=　　　　.  解析:(1)设各项均为正数的等比数列{an}的公比为q, 则 解得所以a3=a1q2=4.故选C. (2)由题意得,得 所以S10=10a1+d=10×1+×2=100. 答案:(1)C　(2)100 在等差数列和等比数列的通项公式an与前n项和公式Sn中,共涉及五个量:a1,an,n,d(或q),Sn,其中a1和d(或q)为基本量,“知三求二”是指将已知条件转换成关于a1,d(q),an,Sn,n的方程组,利用方程的思想求出需要的量,当然在求解中若能运用等差(比)数列的性质会更好,这样可以化繁为简,减少运算量,同时还要注意整体代入思想方法的运用. 跟踪训练 1.(2019·全国Ⅰ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S4=0,a5=5,则(　　) A.an=2n-5 B.an=3n-10 C.Sn=2n2-8n D.Sn=n2-2n 解析:由等差数列性质可得 解得故故选A. 2.(2019·全国Ⅰ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和,若a1=1,S3=,则S4=　　　　　.  解析:设等比数列{an}的公比为q, 则有S3=a1+a2+a3=1+q+q2=, 整理可得4q2+4q+1=0, 所以q=-, 所以S4=S3+a4=-=. 答案: 题型二　等差(比)数列的性质 [例2] (1)(2021·全国甲卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若S2=4,S4=6,则S6=(　　) A.7 B.8 C.9 D.10 (2)(2020·全国Ⅰ卷)设{an}是等比数列,且a1+a2+a3=1,a2+a3+a4=2,则a6+a7+a8=(　　) A.12 B.24 C.30 D.32 解析:(1)因为Sn为等比数列{an}的前n项和,S2=4,S4=6, 由等比数列的性质可知,S2,S4-S2,S6-S4成等比数列, 所以4,2,S6-6成等比数列, 所以22=4(S6-6),解得S6=7.故选A. (2)法一　设等比数列{an}的公比为q, 所以==q=2, 由a1+a2+a3=a1(1+q+q2)=a1(1+2+22)=1, 解得a1=, 所以a6+a7+a8=a1(q5+q6+q7)=×(25+26+27)=×25×(1+2+22)=32.故选D. 法二　设等比数列{an}的公比为q, 则由已知得,q==2. a6+a7+a8=a1q5+a2q5+a3q5=(a1+a2+a3)q5=1×25=32.故选D. 熟练掌握等差数列、等比数列的两个重要性质 (1)等差数列{an}中,若正整数m,n,p,q满足m+n=p+q,则am+an=ap+aq; 等比数列{an}中,若正整数m,n,p,q满足m+n=p+q,则am·an=ap·aq. (2)等差数列{an}的前n项和为Sn,则Sn,-Sn,-,…成等差数列; 等比数列{an}的前n项和为Sn,则Sn,-Sn,-,…成等比数列(其中Sn,-Sn,-S2n,…均不为0,且q≠-1). 跟踪训练 1.(2021·天津红桥区高三期末)设Sn是等差数列{an}的前n项和,若=,则等于(　　) A. B. C. D.1 解析:因为{an}为等差数列, 所以===×=1.故选D. 2.(2022·河南平顶山高二期末)已知等比数列{an}是递增数列,若a