5.2.2 导数的四则运算法则-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册同步全程学习全书word（人教A版）

5.2.2　导数的四则运算法则 学习目标 1.了解求导法则的证明过程,达成逻辑推理的核心素养. 2.掌握函数和、差、积、商的求导法则,能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数,发展学生的数学运算素养. [问题] (1)如何利用导数的定义求函数y=f(x)+g(x)的导数? (2)你能利用导数的定义求出函数y=f(x)g(x)的导数吗? (3)对于(g(x)≠0)如何求导? 提示:(1)Δy=[f(x+Δx)+g(x+Δx)]-[f(x)+g(x)], = =+, y′= =[+] =f′(x)+g′(x). 所以有[f(x)+g(x)]′=f′(x)+g′(x). (2)第一步:Δy=f(x+Δx)g(x+Δx)-f(x)g(x); 第二步:= = =·g(x+Δx)+·f(x); 第三步:其中=f′(x), g(x+Δx)=g(x), =g′(x), 所以y′==f′(x)g(x)+f(x)g′(x). 所以有[f(x)g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x). (3)[]′= = = = =. 　导数运算法则 法则 语言叙述 [f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x) 两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差) [f(x)g(x)]′= f′(x)g(x)+f(x)g′(x) 两个函数的乘积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数 []′= (g(x)≠0) 两个函数的商的导数,等于分子的导数乘以分母,减去分子乘以分母的导数,再除以分母的平方 特别地: (1)当g(x)=c(c为常数)时,[cf(x)]′=cf′(x); (2)当f(x)=1时,[]′=-. [思考] 设f(x)=tan x,如何求f′(x)? 提示:因为f(x)=tan x=, 所以f′(x)==. [做一做] (1)已知函数f(x)=-cos x+ln x,则f′(1)的值为(　 　) A.sin 1-1 B.1-sin 1 C.1+sin 1 D.-1-sin 1 (2)函数y=x2cos x的导数为(　 　) A.2xcos x-x2sin x B.-2xsin x C.2xcos x+x2sin x D.xcos x-x2sin x (3)已知函数f(x)=,则f′(1)=　　　　.  解析:(1)因为函数f(x)=-cos x+ln x, 所以f′(x)=sin x+, 所以f′(1)=sin 1+1.故选C. (2)因为y=x2cos x, 所以y′=(x2)′cos x+x2(cos x)′=2xcos x-x2sin x.故选A. (3)因为f′(x)==, 所以f′(1)=1. 答案:(1)C　(2)A　(3)1 　用导数的加法与减法法则求导数 [例1] 求下列函数的导数. (1)y=2x3+x2-x+1; (2)y=x4+cos x; (3)y=ex+ln x. 解:(1)y′=(2x3)′+(x2)′-(x)′+(1)′ =6x2+2x-1. (2)y′=(x4)′+(cos x)′=4x3-sin x. (3)y′=(ex)′+(ln x)′=ex+. (1)两个函数的和(或差)的求导法则:设函数f(x),g(x)是可导的,则[f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x),即两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差). (2)熟记常见基本初等函数的求导公式是进行求导运算的前提.判断所给函数解析式的结构特点,选择正确的公式和运算法则. [针对训练] 求下列函数的导数. (1)y=x5+x3; (2)y=5x-ln x; (3)y=lg x+sin x. 解:(1)y′=(x5)′+(x3)′=x4+2x2. (2)y′=(5x)′-(ln x)′=5xln 5-. (3)y′=(lg x)′+(sin x)′=+cos x. 　利用导数的乘法与除法法则求导 [例2] 求下列函数的导数. (1)y=(2x2+3)(3x-2); (2)y=excos x-3xln x; (3)y=. 解:(1)法一　y′=(2x2+3)′(3x-2)+(2x2+3)·(3x-2)′=4x(3x-2)+(2x2+3)×3=18x2-8x+9. 法二　因为y=(2x2+3)(3x-2) =6x3-4x2+9x-6, 所以y′=18x2-8x+9. (2)y′=(excos x-3xln x)′ =(ex)′cos x+ex(cos x)′-3[(x)′ln x+x(ln x)′] =excos x-exsin x-3(ln x+x·) =ex(cos x-sin x)-3ln x-3. (3)y′= = =. 应用基本初等函数的导数公式