5.1 导数的概念及其意义-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册同步全程学习全书word（人教A版）

5.1　导数的概念及其意义 5.1.1　变化率问题 5.1.2　导数的概念及其几何意义 学习目标 1.通过对实例的分析,经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,了解导数概念的实际背景,达成数学抽象的核心素养. 2.理解函数的平均变化率、瞬时变化率,会求函数在某一点附近的平均变化率,发展数学运算的核心素养. 3.理解导数的概念,会利用导数的定义求函数在某点处的导数,增强逻辑推理与数学运算的核心素养. 4.理解导数的几何意义,会求曲线上某点处的切线方程,提升直观想象与数学运算的核心素养. 　　在实际生产生活中,我们需要研究一些物体的瞬时变化率,例如: (1)摩托车的运动方程为s=8+3t2,其中s表示位移,t表示时间,知道它在某一时刻的瞬时速度就可以更好地指导运动员进行比赛; (2)冶炼钢铁时需要测定铁水的瞬时温度来确定其质量标准; (3)净化饮用水时需要根据净化费用的瞬时变化率来控制净化成本. 探究:上述实例中都涉及某个量的瞬时变化率,在数学意义上,这些实际上是某个量的函数的瞬时变化率,它在数学上称为什么? 提示:函数的导数. [问题1] 物体做自由落体运动的方程是s(t)=gt2. (1)如何求出该物体在[3,3+Δt]这段时间内的平均速度? (2)当Δt趋近于0时,问题(1)中的平均速度趋近于几?怎样理解这一速度? 提示:(1)Δs=g(3+Δt)2-g=3gΔt+g(Δt)2, ==3g+gΔt=g(3+Δt). (2)当Δt趋近于0时,趋近于3g,这时的平均速度即为t=3时的瞬时速度. 1.平均速度与瞬时速度 (1)平均速度. 一般地,在t1≤t≤t2这段时间里,物体的平均速度=. (2)瞬时速度. 把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.物体在某一时刻t0的瞬时速度为当时间间隔|Δt|无限趋近于0时平均速度的极限,即v=. [思考1] 如果某物体在某时间段内的平均速度为0,能否判定该物体在此时间段内的瞬时速度都为0? 提示:不能. [做一做1] 质点按规律s(t)=at+1运动,若t=2时刻的瞬时速度为,则a的值为　　　　.  解析:=a=. 答案: [问题2] (1)如图,当点Pn(xn,f(xn))(n=1,2,3,4),沿着曲线f(x)趋近于点P(x0,f(x0))时,割线PPn的变化趋势是什么? (2)当点Pn无限趋近于点P时,割线PPn的斜率kn与切线PT的斜率k有什么关系? 提示:(1)当点Pn趋近于点P时,割线PPn趋近于点P处的切线PT. (2)割线PPn的斜率是kn=,当点Pn无限趋近于点P时,kn无限趋近于切线PT的斜率k. 2.割线的斜率和切线的斜率 (1)割线的斜率. 如图所示: 平均变化率=表示割线P0P的斜率. (2)切线与切线的斜率. ①曲线的切线. 如图所示: 在曲线y=f(x)上任取一点P(x,f(x)),如果当点P(x,f(x))沿着曲线y=f(x)无限趋近于点P0(x0,f(x0))时,割线P0P无限趋近于一个确定的位置,这个确定位置的直线P0T称为曲线y=f(x)在点P0处的切线. ②切线的斜率. 曲线在某一点处切线的斜率,即当横坐标间隔|Δx|无限趋近于0时,割线斜率的极限,即k=. [做一做2] 抛物线y=x2+1在点(1,2)处的切线的斜率是　　　　.  解析:k==(2+Δx)=2. 答案:2 [问题3] (1)在高台跳水运动中,某运动员相对于水面的高度h与起跳后的时间t存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10,当Δt<0时,在[2+Δt,2]这段时间内的平均速度是多少?分别计算当Δt=±0.01,±0.001,±0.000 1,±0.000 01,±0.000 001时的大小. (2)观察问题(1)中的计算结果,考虑当Δt趋近于0时,平均速度具有什么样的变化趋势? (3)从物理的角度看,事件间隔|Δt|无限变小时,平均速度无限趋近于哪个量?用极限符号如何表示? 提示:(1)===-4.9Δt-13.1. 当Δt=-0.01,=-13.051; 当Δt=-0.001,=-13.095 1; 当Δt=-0.000 1,=-13.099 51; 当Δt=-0.000 01,=-13.099 951; 当Δt=-0.000 001,=-13.099 995 1; 当Δt=0.01,=-13.149; 当Δt=0.001,=-13.104 9; 当Δt=0.000 1,=-13.100 49; 当Δt=0.000 01,=-13.100 049; 当Δt=0.000 001,=-13.100 004 9. (2)当Δt趋近于0,即无论t从小于2的一边,还是从大于2的一边趋近于2时,平均速度都趋近于一个确定的值-13.1. (3)平均速度无限趋近于瞬时速度.可用极限符号表