4.4 数学归纳法-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册同步全程学习全书word（人教A版）

4.4*　数学归纳法 学习目标 1.了解数学归纳法的原理,达成数学抽象的核心素养. 2.能用数学归纳法证明数列中的一些简单命题,发展逻辑推理与数学运算的核心素养. 数学归纳法 一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行: (1)(归纳奠基)证明当n=n0(n0∈N*)时命题成立; (2)(归纳递推)以“当n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立”为条件,推出“当n=k+1时命题也成立”. 只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.这种证明方法称为数学归纳法. [思考1] 数学归纳法的第一步n0的初始值是否一定为1? 提示:不一定,如证明n边形的内角和为(n-2)·180°时,第一个值n0=3. [思考2] 先假设n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立,再证n=k+1时命题也成立,就可以说明命题成立,请说明原因. 提示:假设当n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立,其本质是证明一个递推关系,有了这种向后传递的关系,就能从一个起点不断发展,以至无穷.如果不证明n=k+1时命题也成立,即便前面验证了命题对许多正整数都成立,也不能保证命题对后面的所有正整数都成立. [做一做] (1)式子1+k+k2+…+kn(n∈N*),当n=1时,式子的值为(　　) A.1 B.1+k C.1+k+k2 D.以上都不对 (2)用数学归纳法证明1+++…+<n(n∈N*且n>1)第一步要证明的不等式是　　　　　　,从n=k到n=k+1时,左端增加了　　　　项.  解析:(1)把n=1代入式子即可.故选B. (2)当n=2时,1++<2. 当n=k时到第(2k-1)项, 而当n=k+1时到第(2k+1-1)项, 所以2k+1-1-(2k-1)=2k+1-2k=2·2k-2k=2k. 答案:(1)B　(2)1++<2　2k 　数学归纳法的概念 [例1] 用数学归纳法证明:1+a+a2+…+an+1=(a≠1,n∈N*),在验证n=1成立时,左边计算的结果是(　　) A.1 B.1+a C.1+a+a2 D.1+a+a2+a3 解析:实际是由1(即a0)起,每项指数增加1,到最后一项为an+1, 所以n=1时,左边的最后一项应为a2, 因此左边计算的结果应为1+a+a2.故选C. (1)验证是基础:找准起点,奠基要稳,有些问题中验证的初始值不一定为1. (2)递推是关键:正确分析由n=k到n=k+1时式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障. [针对训练] 下列四个判断中,正确的是(　　) A.式子1+k+k2+…+kn(n∈N*),当n=1时为1 B.式子1+k+k2+…+kn-1(n∈N*),当n=1时为1+k C.式子1+++…+(n∈N*),当n=1时为1++ D.设f(n)=++…+(n∈N*),则f(k+1)=f(k)+++ 解析:选项A中,n=1时,式子应为1+k;选项B中,n=1 时,式子应为1;选项D中,f(k+1)=f(k)+++-.故选C. 　用数学归纳法证明等式 [例2] 用数学归纳法证明:1+3×2+5×22+…+(2n-1)×2n-1=2n(2n-3)+3(n∈N*). 证明:(1)当n=1时,左边=1, 右边=2×(2-3)+3=1,左边=右边, 所以等式成立. (2)假设当n=k(k∈N*)时,等式成立, 即1+3×2+5×22+…+(2k-1)×2k-1=2k(2k-3)+3. 则当n=k+1时,1+3×2+5×22+…+(2k-1)×2k-1+(2k+1)×2k=2k(2k-3)+3+(2k+1)×2k=2k(4k-2)+3=2k+1[2(k+1)-3]+3, 即当n=k+1时,等式也成立. 由(1)(2)知,等式对任何n∈N*都成立. 用数学归纳法证明恒等式时,应注意以下三点: (1)弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况; (2)弄清从n=k到n=k+1等式两端增加了哪些项,减少了哪些项; (3)证明n=k+1时结论也成立,要设法将待证式与归纳假设建立联系,并朝n=k+1证明目标的表达式变形. [针对训练] 用数学归纳法证明:(1-)(1-)·(1-)…(1-)=(n∈N*). 证明:(1)当n=1时, 左边=1-=, 右边==,等式成立. (2)假设当n=k(k∈N*)时,等式成立, 即(1-)(1-)(1-)…(1-)=. 则当n=k+1时, (1-)(1-)(1-)…(1-)(1-) =(1-) = ==, 即当n=k+1时等式成立. 由(1)(2)可知对任何n∈N*,等式都成立. 　用数学归纳法证明不等式 [例3] 用数学归纳法证明:1+++…+<2-(n≥2). 证明:(1)当n=2时,1+=<2-=,命题成立. (2)假设当n=