4.3.2 等比数列的前n项和公式-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册同步全程学习全书word（人教A版）

4.3.2　等比数列的前n项和公式 第一课时　等比数列的前n项和公式 学习目标 1.掌握等比数列的前n项和公式,了解推导等比数列前n项和公式的过程与方法,发展逻辑推理的核心素养. 2.能够运用等比数列的前n项和公式进行有关的计算及解决简单的实际问题,增强数学建模与数学运算的核心素养. 3.掌握等比数列的前n项和的性质及其应用,提升逻辑推理与数学运算的核心素养. [问题1] (1)数列1,3,32,33,…,3n的首项和公比分别是多少? (2)把该数列的前n项和Sn=1+3+32+…+3n-1,① 两边同乘公比3得3Sn=3+32+33+…+3n,② 这两个等式的右边有何相同点?若用②式减去①式,会有什么结果? (3)对Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1(q≠1)按(2)的方法处理会怎样呢? 提示:(1)首项为1,公比为3. (2)两个等式的右边除首项与末项不同外,其余各项均相同,若用②式减去①式会把这些相同的项全部消掉,求得Sn=(3n-1). (3)Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1,③ qSn=a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn,④ ④-③得(q-1)Sn=a1(qn-1), 由q≠1得Sn=. 1.等比数列的前n项和公式 已知量 公式 首项a1与公比q Sn= 首项a1,末项an与公比q Sn= [思考1] 等比数列{an}的前n项和公式中涉及a1,an,n,Sn,q五个量,已知几个量方可以求其他量? 提示:三个. [做一做1] 在等比数列{an}中,若a1=1,a4=,则该数列的前10项和S10等于(　B　) A.2- B.2- C.2- D.2- 解析:易知公比q=,则S10==2-.故选B. [问题2] (1)若数列{an}为等比数列,a1+a2,a3+a4,a5+a6成等比数列吗? (2)若数列{an}为等比数列,a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9成等比数列吗? 提示:(1)a3+a4=q2(a1+a2),a5+a6=q2(a3+a4),所以a1+a2,a3+a4,a5+a6成等比数列. (2)成等比数列. 2.等比数列“片段和”性质 等比数列{an}中,公比为q,前n项和为Sn(Sn≠0),则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…,Skn-S(k-1)n,…构成公比为qn的等比数列. [做一做2] 在等比数列{an}中,若a1+a2=20,a3+a4=40,则S6等于(　A　) A.140 B.120 C.210 D.520 解析:因为S2=20,S4-S2=40, 且(S4-S2)2=S2×(S6-S4), 所以S6-S4=80,S4=40+S2=60, 所以S6=140.故选A. [问题3] 类比等差数列前n项和性质中的奇数项、偶数项的问题,等比数列是否也有相似的性质? 提示:若等比数列{an}的项数有2n项,则 其偶数项和为S偶=a2+a4+…+a2n, 其奇数项和为S奇=a1+a3+…+,容易发现两列式子中对应项之间存在联系,即S偶=a1q+a3q+…+q=qS奇,所以有=q. 若等比数列{an}的项数有2n+1项,则其偶数项和为S偶=a2+a4+…+a2n,其奇数项和为S奇=a1+a3+…++,从项数上来看,奇数项比偶数项多了一项,于是我们有S奇-a1=a3+…++=a2q+a4q+…+a2nq=qS偶,即S奇=a1+qS偶. 3.等比数列“奇、偶数项和”的性质 若{an}是公比为q的等比数列,S偶,S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和,则: (1)在其前2n项中,=q. (2)在其前2n+1项中,S奇-S偶=a1-a2+a3-a4+…-a2n+==(q≠-1);S奇=a1+qS偶. [问题4] 你能从函数角度认识等比数列的前n项和公式吗? 提示:当公比q≠1时,设A=,等比数列的前n项和公式是Sn=A(qn-1),即Sn是n的指数型函数. 当公比q=1时,因为a1≠0,所以Sn=na1,Sn是n的正比例函数. 4.等比数列前n项和公式的函数特征 (1)若数列{an}为非常数列的等比数列,且其前n项和Sn=A·qn+B(A≠0,B≠0,q≠0,q≠1,n∈N*),则必有A+B=0;反之,若某一非常数列的前n项和Sn=A·qn-A(A≠0,q≠0,q≠1,n∈N*),则该数列必为等比数列. (2)如果公比q≠-1或虽q=-1但n为奇数时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n构成等比数列. [思考2] 若等比数列{an}的公比q不为1,其前n项和为Sn=Aqn+B,则A与B有什么关系? 提示:A=-B. [做一做3] 若数列{an}是等比数列,且其前n项和Sn=3n+1-3k,则实数k等于　　　　.  解析:因为Sn=3n+1-3k=3×3n-