4.2.2 等差数列的前n项和公式-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册同步全程学习全书word（人教A版）

4.2.2　等差数列的前n项和公式 第一课时　等差数列的前n项和公式 学习目标 1.探索并理解等差数列的前n项和公式,发展逻辑推理、数学抽象的核心素养. 2.掌握等差数列的前n项和公式的应用,增强逻辑推理、数学运算的核心素养. [问题] 如图,建筑工地上堆放着一些钢管,最上面的一层有4根,下面的每一层都比上一层多一根,共6层.在不逐个相加的情况下,你能想办法算出情景1中的这些钢管共有多少根吗? 提示:在这堆钢管的旁边再倒放上同样的一堆钢管,如图所示. 这样的钢管共有(4+9)×6=78(根),故原来有钢管有=39(根). 等差数列的前n项和公式 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 选用 公式 Sn= Sn=na1+d [思考1] 等差数列前n项和公式是利用什么方法得到的? 提示:倒序相加法. [思考2] 等差数列前n项和有怎样的函数特点? 提示:对于等差数列{an},如果a1,d是确定的,前n项和Sn=na1+d=n2+(a1-)n.若A=,B=a1-,上式可写成Sn=An2+Bn.当A≠0(即d≠0)时,Sn是关于n的二次函数式(常数项为0).数列S1,S2,S3,…,Sn的图象是抛物线y=Ax2+Bx上的一群孤立的点. [做一做] (1)在等差数列{an}中,已知a1=2,d=2,则S5等于　　　　.  (2)记等差数列{an}的前n项和为Sn,若a3+a11+a13=9,则S17=　　　　.  解析:(1)S5=5×2+×2=30. (2)依题意,a3+a11+a13=3a1+24d=3a9=9, 所以a9=3, 所以S17=×17=17a9=3×17=51. 答案:(1)30　(2)51 　等差数列的基本量运算 [例1] 在等差数列{an}中. (1)a1=1,a4=7,求S9; (2)a3+a15=40,求S17; (3)a1=,an=-,Sn=-5,求n和d. 解:(1)设等差数列{an}的公差为d, 则a4=a1+3d=1+3d=7,所以d=2. 故S9=9a1+d=9+×2=81. (2)S17====340. (3)由题意得,Sn===-5,解得n=15. 又a15=+(15-1)d=-,所以d=-, 所以n=15,d=-. 等差数列中基本计算的两个技巧 (1)利用基本量求值: (2)利用等差数列的性质解题: [针对训练] 根据下列条件分别求出等差数列的前n项和. (1)a1=1,a10=21,n=10; (2)a1=100,d=-2,n=50; (3)a1=2,an=32,d=2. 解:(1)由Sn=知,S10==22×5=110. (2)由Sn=na1+d知,S50=50×100+×(-2)=2 550. (3)因为an=a1+(n-1)d, 所以32=2+(n-1)×2, 得n=16, 所以S16===272. 　等差数列前n项和公式的实际应用 [例2] 某化工企业在2019年底投入100万元购入一套污水处理设备.该设备每年的运转费用是0.5万元,此外每年都要花费一定的维护费,第一年的维护费为2万元,由于设备老化,以后每年的维护费都比上一年增加2万元. (1)求该企业使用该设备x年的年平均污水处理费用y(万元); (2)问:为使该企业的年平均污水处理费用最低,该企业几年后需要更换新的污水处理设备? 解:(1)依题意得,该企业使用该设备x年的维护费为(2+4+6+…+2x)万元, 则总费用为[100+0.5x+(2+4+6+…+2x)]万元, 因此y= =x++1.5(x∈N*). (2)由(1)及x∈N*可得, y=x++1.5≥2+1.5=21.5, 当且仅当x=,即x=10时等号成立. 即当x=10时,y取得最小值. 所以该企业10年后需要更换新的污水处理设备. (1)与等差数列前n项和有关的应用题,其关键在于构造合适的等差数列. (2)遇到与正整数有关的应用题时,可以考虑与数列知识联系,建立数列模型,具体解决要注意以下两点: ①抓住实际问题的特征,明确是什么类型的数列模型. ②深入分析题意,确定是求通项公式an,或是求前n项和Sn,还是求项数n. [针对训练] 某人用分期付款的方式购买一件家电,价格为1 150元,购买当天先付150元,以后每月的这一天都交付50元,并加付欠款利息,月利率为1%.若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月,则分期付款的第10个月该交付多少钱?全部贷款付清后,买这件家电实际花费多少钱? 解:设每次交款数额依次为a1,a2,…,a20, 则a1=50+1 000×1%=60(元), a2=50+(1 000-50)×1%=59.5(元), … a10=50+(1 000-9×50)×1%=55.5(元), 即第10个月应付款55.5元. 由