专题19 计数原理与二项式定理（思维导图+知识梳理+方法技巧+易混易错）-【口袋书】2024年高考数学一轮复习知识清单（新高考专用）

专题19 计数原理与二项式定理 一、知识速览 二、考点速览 知识点1 两个计数原理 1、分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案．在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法。 2、分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤．做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，完成这件事共有N＝m·n种不同的方法。 3、两个计数原理的综合应用 如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理． 知识点2 排列与组合 1、排列与排列数 （1）定义：从个不同元素中取出个元素排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列．从个不同元素中取出个元素的所有排列的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用符号表示． （2）排列数的公式：． 特例：当时，；规定：． （3）排列数的性质：①；②；③． 2、组合与组合数 （1）定义：从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合．从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示． （2）组合数公式及其推导 求从个不同元素中取出个元素的排列数，可以按以下两步来考虑： 第一步，先求出从这个不同元素中取出个元素的组合数； 第二步，求每一个组合中个元素的全排列数； 根据分步计数原理，得到； 因此． 这里，，且，这个公式叫做组合数公式．因为，所以组合数公式还可表示为：．特例：． 注意：组合数公式的推导方法是一种重要的解题方法！在以后学习排列组合的混合问题时，一般都是按先取后排（先组合后排列）的顺序解决问题．公式常用于具体数字计算，常用于含字母算式的化简或证明． （3）组合数的主要性质：①；②． 3、排列和组合的区别 （1）组合：取出的元素地位平等，没有不同去向和分工． （2）排列：取出的元素地位不同，去向、分工或职位不同． 【注意】排列、组合都是研究事物在某种给定的模式下所有可能的配置数目问题，它们之间的主要区别在于是否要考虑选出元素的先后顺序，不需要考虑顺序的是组合问题，需要考虑顺序的是排列问题．排列是在组合的基础上对入选的元素进行排队，因此，分析解决排列组合综合问题的基本思维是“先组合，后排列”． 知识点3 二项式定理 1、二项式定理 （1）二项式定理：， （2）通项公式：，表示展开式的第项：， （3）二项式系数：系数（r=0，1，2，…，n）叫做二项式系数， （4）两个常用的二项展开式： ①（） ② 2、二项式展开式中的最值问题 （1）二项式系数的性质： ①每一行两端都是，即；其余每个数都等于它“肩上”两个数的和，即． ②对称性每一行中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即． （2）二项式系数先增后减中间项最大 ①如果二项式的幂指数是偶数，则中间一项的二项式系数最大； ②如果二项式的幂指数是奇数，则中间两项，的二项式系数，相等且最大． （3）系数的最大项 求展开式中最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为， 设第项系数最大，应有，从而解出来． 3、二项展开式中的系数和问题 （1）二项式系数和令，则二项式系数的和为， 变形式． （2）奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和在二项式定理中，令， 则， 从而得到：． （3）若，则 ①常数项：令，得． ②各项系数和：令，得． 一、求解排列应用问题的六种常用方法 1、直接法：把符合条件的排列数直接列式计算； 2、优先法：优先安排特殊元素或特殊位置； 3、捆绑法：相隔问题把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列； 4、插空法：不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中； 5、定序问题除法处理：对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后再除以定序元素的全排列 6、间接法：正难则反、等价转化的方法 【典例1】（2023上·贵州贵阳·高三校联考阶段练习）贵州省首届“美丽乡村”篮球联赛总决赛在黔东南苗族侗族自治州台江县台盘村开赛.该联赛由台盘村“六月六”吃新节篮球赛发展演变而来，被网友称为“村BA”.村BA给全国人民展现的不仅是贵州人热爱生活的精神，更展现了如今欣欣向荣的贵州山水人文，同时给贵州的旅游带来巨大的收益.2023年8月20日晚上村BA西南大区赛总决赛落下帷幕，为庆祝比赛顺利结束，主办方设置一场扣篮表演，分别由重庆、贵州、四川、云南代表队每队各选出2名球员参加扣篮表演，贵州队作为东道主，扣篮表演必须在第一位及最后一位，那么一共有（ ）种表演顺序. A．