4.4 数学归纳法-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册同步全程学习教案（人教A版）

4.4 数学归纳法 学习盘标 法判定，同样只有步骤(2)面缺少步骤(1).也可能得出不正 确的结论，缺少步强(1)这个基础，假设就失上了成立的前 1,了舒数学纳法的原班。 提，步骤(2)也就没有意义了。 2.能用数学」纳法让明数列中的-些简单命题 质疑探究 教学过程 问题1：数学闩纳法证明的第一步中n的初始：代贝能足1 导入新课： 吗？举例说明 往匹健儿的骏马身上放·根蹈草，马毫无反应：再添加 提示：数学归纳法证明的第一步中？的初始值应根掷命 根稻草，马还是丝老没有越觉：又添加椒…·直往马身 通的具体情况采确定，不一定是1.如：用数学的纳法证明凸 上添稻草，最后根轻飘飘的稻草放到了马身上后，骏马竟 n边形的内角和为(n一2)·180时，其初站值血一3. 木不堪重负瘫倒在地.这在社会研究学州，取名为“稻草原型”.这 问题2：数学归纳法明中，在验了一1时命题正疏，假 其中雅含着一种怎样的数学思想死？ 定n=k时命题正确，此时是的取值范同是什么？ 游授新知 提示：【，k∈N·,效学归纳法是证明关于正签数n的命题 的一种方法，所以是是正整数，又第一步是递推的恭编，所以 数学归纳法 é大于等于1. 般地，明个与正整数有关的命题，可按卜列步骤 进行： 藏蕴例应用 (1)(山纳览某)让明当=（∈V”)时命题成立： 类型一用数学归纳法证明等式 (2)(归纳递推)以“当n=(免E,≥)时命题成立.”为条 [例1门川数学归纳法证明：1×2一2×3+3×2++n(n一 件，推山“当n一一1时命趣也成立”， 1)-+12(3x+11n+10),其中n∈N. 12 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n开始的所有 正整颈？都成立，这种明方法称为数学归纳法 证明：(1)当H-1时，左边-1×2一4， 救材拓展 右边 1×(1+2×(3×12-11×1-10)-4. 12 数学归纳法两个步跳之间的联系： 所以左边=右边，等式成立。 第·步是验：命题递推的墨山，第一步是论命题递推的 (2)校设当n=(密I,kEN“)时，等式成立， 依据，这两个步喉缺一不可，只完成步骤(1)面椒少步喋(2) 就作山判析，可能得山不正确的结论，因为单常步张(1)，无 91X2°一2×3+3X4-+k(k+1D=(。9(6 12 法逆推下去，即当收H以后的数时命题是杏正绮，我们无 112110), 32 趣掉数列 那么当一十1时， 1×212×33×41…1(1)1(k11)(k12) …专 -牛1卫(3-11+10)+(0+1Dk+2 12 则当n=11防，发专1…京站>希 =(质)D(3+5k-2)-(k+1D(-2 12 (+1 -+1D(表-22(3-5+12k+240 1k十1 12 =k1D62[3a11y111(11)110, 1 1 12 一中2h可=120， 呷当2-十1时，等式也点立， 所以对安…太 棕上，对任何nEN”,等式都成主 即当n=k|1时，不等式也成立 反思与感悟 用数学归纳法证明等式时，一是弄清”跟第一个值时等 由》可知，原不等式成立. 式两边项的情况，二是弃清从n一k到一k十1等式两边的 反思与感悟 项是何变化的，即增加了哪垫项，减少了那些项：三是狂明 同数学归的法证明不等式需要注意： 川=一1时皓论也成立，安设法济待证式与归的假设建立联 ()在归钠遂推证明过程中，方向不明饰时，可采用分新法完 系，并向n=十1时证明目标的表达式进行变形. 成，经过分新技到推证的方向后，荐用综合法、北较法等其他 跟踪训练】让明：文十之-…十2一2n十西 方法证明 1 (2)在推证“当n=【1时不等式也成主”的过程中，常常要 2”7ev). 普表达式作适当放编，变形，便于应用所作假授，变换出要证 明的站论 证明：①)当=1时，左边=☆=合 跟踪训练2州数学纠纳法证明：1京…12少> 1 1 右边=2×1中一了，左边=右边，所以等式成立. (2)餐读业n=k(k会1，k∈N”)时等式成立，印有 k522--2白 1 证明：1)当n-1时，左边-1：右边-1-号-号左边>右 边，所以不等式成立 则当=十【时， (2)假设当-(k1,k∈N)时，不等式成立， + --(2h102k-+(2k-1)(2+3 --2D>1-2+-…-2 k(2k13)11 一2k+1+(2k+1D(2k+3)-(2站+1)(2k+3) 1 2 -2+3+】-+1_+】 (2k+1)(2-3)2-32(k+1)-1 刘当一十1时， 所以当=及十1附，等式也成立 卡录…Dl2D 白(1)和(2).可知对任意n∈N等式都成立 类型二用数学归钠法证明不等式 >1--}…然+2+ 1 [例2]数列a.满足a-1=2aa=, (1明：数列{出}是等关数列： 1-+青-+…+点--2+ 1 (2术数