专题5.1 二次根式（全章知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年八年级数学上册全章复习与专题突破讲与练（湘教版）

专题5.1 二次根式（全章知识梳理与考点分类讲解） 【知识点一】二次根式概念 形如的式子叫做二次根式，如，，等式子，都叫做二次根式. 要点提醒：二次根式有意义的条件是，即只有被开方数时，式子才是二次根式，才有意义. 【知识点二】二次根式的性质 . 要点提醒： （1） 一个非负数可以写成它的算术平方根的平方的形式，即（）， （2） 中的取值范围可以是任意实数，即不论取何值，一定有意义. （3）化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简. （4）与的异同： 不同点：中可以取任何实数，而中的必须取非负数；=，=（）. 相同点：被开方数都是非负数，当取非负数时，=. 【知识点三】最简二次根式 （1）被开方数是整数或整式；（2)被开方数中不含能开方的因数或因式. 满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如等都是最简二次根式. 要点提醒：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2. 【知识点四】同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式. 要点提醒：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.如与，由于=，与显然是同类二次根式. 【知识点五】二次根式的乘除法 （1）乘除法法则： 类型 法则 逆用法则 二次根式的乘法 积的算术平方根化简公式： 二次根式的除法 商的算术平方根化简公式： 要点提醒： （1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如. （2）被开方数a、b一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如. 【知识点六】二次根式的加减法 将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式. 要点提醒： 二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如. 【考点一】二次根式的概念与性质 【例1】（2023上·山东济南·八年级统考阶段练习）（1）若有意义，则满足条件____． （2）若，求的值． 【答案】（1）（2）6 【分析】（1）根据二次根式有意义的条件列式求解即可；（2）根据二次根式有意义的条件可得，解得，进而确定的值，然后代入求值即可． 解：（1）若有意义， 则有， ∴． 故答案为：； （2）∵，， ∴，解得， ∴可有，解得， ∴． 【点拨】本题主要考查了二次根式有意义的条件、代数式求值等知识，理解并掌握二次根式有意义的条件是解题关键． 【举一反三】 【变式1】（2023上·广东深圳·八年级统考期中）函数中，自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，熟知根号里面式子需要大于等于0，分母不能为0，再合并解集，是解题的关键． 解：由 可得， 解得， 故选：B． 【变式2】（2023下·辽宁铁岭·八年级校考阶段练习）已知有最小值，这个最小值是 ． 【答案】 【分析】由二次根式的非负性：（）进行求解即可． 解：， ， 的最小值为； 故答案：． 【点拨】本题考查了二次根式的非负性，理解非负性是解题的关键． 【例2】（2022下·北京昌平·八年级校考阶段练习）实数，，在数轴上对应的点如图：    化简． 【答案】 【分析】根据数轴上点的位置判断绝对值里式子的正负，利用绝对值和二次根式的性质进行化简即可． 解：由图可知：， ∴，，，， ∴ ． 【点拨】此题考查了二次根式和绝对值的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 【举一反三】 【变式1】（2023上·四川眉山·九年级校考阶段练习）若化简的结果为，则x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的性质得出，分为三种情况①，②，③，再逐个判断即可． 解：根据题意得：， ， ， ①当时， ，此时符合的结果为； ②当时， ， ③当时， ， 即当时，|的结果为， 所以的取值范围是， 故选：D． 【点拨】本题考查了二次根式性质与化简，绝对值等知识点，能进行分类讨论是解此题的关键． 【变式2】（2023下·江西赣州·八年级统考期中）化简二次根式后的结果是 ． 【答案】 【分析】先根据被开方数为非负数得到，然后把移入根号内约分解题即可． 解：由被开方数得到， ∴， 故答案为：． 【点拨】本题考查二次根式的化简，掌握被开方数是非负数是解题的关键． 【考点二】二次根式的运算 【例3】（2021下·湖北武汉·八年级校考阶段练习）计算． （1）． （2）． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（）利用平方差公式即可求解；（）利用二次根式的乘法法则，二次根式的性质，绝对值化