第十二章 分式和分式方程易错疑难集训 2023-—2024学年冀教版数学八年级上册

《第十二章　分式和分式方程》易错疑难集训 一、易错题 易错点1 忽视分式中的隐含条件 1.若分式的值为0,则x的值为 (　　) A.3 B.±3 C.9 D.±9 2.先化简,再求值:()÷,其中x是不等式组的整数解. 易错点2 分式计算时出错 3.计算:-x-1. 4.计算:·. 5.计算:÷(). 6.计算:. 易错点3 讨论分式方程的解时考虑不全面 7.关于x的分式方程=1的解为正数,则a的取值范围是　　　　　　. 8.若关于x的分式方程=2a无解,则a的值为　　　　. 易错点4 解分式方程时,漏乘或忽略对根的检验 9.解方程: (1)+2=;　　(2)=1. 10.观察下列解答过程: 解方程=1. 方程两边同乘x-4,得5-x-1=1,　① 解得x=3.　② 请指出以上步骤中错误的地方,并写出正确的解答过程. 二、疑难题 疑难点1 利用转化思想求分式的值 1. 已知a+x2=2 020,b+x2=2 021,c+x2=2 022,且abc=24,求代数式的值. 疑难点2 与分式有关的规律题 2.观察以下等式: 第1个等式:×(1+)=2-; 第2个等式:×(1+)=2-; 第3个等式:×(1+)=2-; 第4个等式:×(1+)=2-; 第5个等式:×(1+)=2-; …… 按照以上规律,解决下列问题: (1)写出第6个等式:　　　　　　　　　　;  (2)写出你猜想的第n个等式:　　　　　　　　　　(用含n的等式表示),并证明.  疑难点3 利用分式方程解决工程问题 3.学校新到一批实验器材需要整理,若实验室管理员张老师一人单独整理,需要1小时完成.现在张老师与工人黄师傅共同整理30分钟后,张老师因事外出,黄师傅又单独整理了30分钟才完成任务. (1)黄师傅单独整理完这批实验器材需要多少分钟? (2)若学校要求黄师傅整理这批实验器材的工作时间不能超过30分钟,则张老师至少要工作多少分钟? 4.在某市地铁1号线某段工程建设中,甲队单独完成这项工程需要150天,甲队单独施工30天后增加乙队,两队又合作了15天,共完成总工程的. (1)求乙队单独完成这项工程需要多少天. (2)为了加快工程进度,甲、乙两队各自提高工作效率,提高后乙队的工作效率是,甲队的工作效率是乙队的m倍(1≤m≤2),若两队合作40天完成剩余的工程,请写出a与m的关系式,并求出乙队的最大工作效率是原来的几倍. 参考答案 一、易错题 1.A　【解析】　依题意,知x2-9=0且x2+6x+9≠0,解得x=±3且x≠-3,所以x=3.故选A. 2.【解析】　()÷ =[]· =· =. 解不等式组得1≤x<3, 则不等式组的整数解为1,2. 当x=1时,原式无意义,舍去; 当x=2,原式=. 3.【解析】　-x-1 =-(x+1) = =. 4.【解析】　· =·· =·· =1. 5.【解析】　÷() = = =· =. 6.【解析】　 = = =. 7.a<5且a≠3　【解析】　方程两边都乘x-2, 得1-a+2=x-2,解得x=5-a.由题意知5-a>0,解得a<5.当x=5-a=2,即a=3时,方程的根为增根,不合题意应舍去.故a<5且a≠3. 8.或1　【解析】　方程两边同时乘以最简公分母x-3,得x-3a=2a(x-3),整理,得(1-2a)x=-3a.当1-2a=0时,方程无解,故a=;当1-2a≠0,x==3时,方程的根为增根,分式方程无解,则a=1.综上,a的值为或1. 9.【解析】　(1)方程两边同乘x-3,得4+2(x-3)=4-x, 解这个整式方程,得x=2. 经检验,x=2是原分式方程的解. (2)方程两边同乘(x+1)(x-1),得(x+1)2-4=x2-1, 解这个整式方程,得x=1, 经检验,x=1是分式方程的增根, ∴原分式方程无解. 10.【解析】　第①步中分式方程等号右边没有乘x-4. 正确的解答过程如下: 方程两边同乘x-4,得5-x-1=x-4, 解得x=4. 检验:当x=4时,x-4=0. 所以x=4是原分式方程的增根,所以原分式方程无解. 二、疑难题 1.【分析】　将所求分式通分后再配方,使所求代数式含有abc,a-b,b-c,c-a,将问题转化为求a-b,b-c,c-a的值,再把已知的三个等式作差,易得出a-b,b-c,c-a的值. 【解析】　 = =. 由a+x2=2 020,b+x2=2 021,c+x2=2 022,消去x2,得a-b=-1,b-c=-1,a-c=-2, 所以原式=. 2.【解析】　(1)×(1+)=2- (2)×(1+)=2- 证明:因为左边==2-=右边, 所以等式成立. 3.【解析】　(1)设黄师傅单独整理完这批实验器材需要x分钟,则黄师傅的工作效率为, 由题意,