江苏省南京师范大学附属中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题

南京师大附中2023-2024学年度第1学期 高一年级期中考试数学试卷 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知集合，则集合（ ） A. B. C. D. 2. 函数的增区间是（ ） A. B. C. D. 3. 若命题“，使得”是真命题，则实数取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知幂函数的定义域为，且，则的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 5. 已知二次函数的图像与轴交于两点，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 有一个非常有趣的数列叫做调和数列，此数列的前项和已经被研究了几百年，但是迄今为止仍然没有得到它的求和公式，只是得到它的近似公式：当很大时，其中称为欧拉—马歇罗尼常数，至今为止都还不确定是有理数还是无理数．由于上式在很大时才成立，故当较小时计算出的结果与实际值之间是存在一定的误差的，已知，用上式估算出的与实际的的误差绝对值近似为（ ） A. 0.03 B. 0.12 C. 0.17 D. 0.21 7. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 8. 已知互不相同的实数，满足，则的值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 二．多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 9. 下列各个选项中，满足的集合有（ ） A. B. C. D. 10. 下列四组函数中，与（或）表示同一函数的有（ ） A. B. C. D. 11. 下列各个选项中，是的充分不必要条件的有（ ） A. 在中，是钝角，是钝角三角形 B. 均为无理数，为无理数 C. D. 12. 当时，用表示不超过的最大整数，如：．已知函数，则（ ） A. B. 函数的值域为 C. 存在无数多个，有 D. 存在无限实数集，对于，当时，有 三．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 已知，则______． 14. 若函数在区间上有两个不同的零点，则实数的取值范围是____________． 15. 已知函数，若存在非零实数，使得，则实数的取值范围是______． 16. 已知，则的最小值为______． 四．解答题（本大题共6小题，共70分．） 17. 计算： （1）： （2）． 18. 设函数 （1）利用函数单调性的定义，证明：函数在上单调递增： （2）当时，求函数最大值． 19. 南京马拉松作为江苏省的省会马拉松赛，创办于2015年，六年的时间它已成为中国马拉松金牌赛事世界田联标牌赛事，有穿越中华门、玄武湖、总统府等经典景点的比赛路线，为了迎接2023年11月南京马拉松赛的回归，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（如图）上设计三个等高的宣传栏（栏面分别为两个全等的直角三角形和一个等腰三角形），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为．为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度也都是），． （1）当时，求海报纸（矩形）的周长： （2）为了节约成本，应如何选择海报纸尺寸，可使用纸量最少（即矩形的面积最小）？ 20. 设甲：，乙：． （1）当时，求甲中不等式的解集； （2）若甲是乙的必要不充分条件，求的取值范围． 21. 已知定义在上的函数满足，且在上单调递减． （1）证明：函数是偶函数； （2）解关于的不等式． 22. 设． （1）若对于，且，都有成立，求取值范围； （2）若关于的方程有实根，求的取值范围． 南京师大附中2023-2024学年度第1学期 高一年级期中考试数学试卷 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】B 二．多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 【9题答案】 【答案】AC 【10题答案】 【答案】BD 【11题答案】 【答案】AC 【12题答案】 【答案】BCD 三．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 【13题答案】 【答案】##0.5 【14题答案】 【答案】 【15题答案】 【答案】 【16题答案】 【答案】## 四．解答题（本大题共6小题，共70分．） 【17题答案】 【答案】（1）4 （2）3 【18题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2） 【19题答案】 【答案】（1） （2）长，宽 【20题答案】 【答案】（1）； （2） 【21题答案】 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【22题答案