26.2 实际问题与反比例函数 学案2023-2024学年人教版九年级数学下册

九年级数学下分层优化堂堂清 第26章 反比例函数 26.2 实际问题与反比例函数（解析版） 学习目标： 1 运用反比例函数的知识解决实际问题. 2 经历“实际问题－建立模型－拓展应用”的过程，发展学生分析、解决问题的能力. 3 经历运用反比例函数解决实际问题的过程，体会数学建模的思想. 老师对你说： 知识点一 、实际问题与反比例函数 （1）待定系数法 若题目提供的信息中明确此函数为反比例函数，则可设反比例函数解析式为，然后求出k的值即可． （2）列方程法 若题目信息中变量之间的函数关系不明确，在这种情况下，通常是列出关于函数（y）和自变量（x）的方程，进而解出函数，得到函数解析式． 知识点二 、用反比例函数解决实际问题的步骤： （1）审——审清题意，找出题目中的常量、变量，并审理清常量与变量之间的关系； （2）设——根据常量与变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示； （3）列——由题目中的已知条件列出方程，求出待定系数； （4）写——写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围； （5）解——用函数解析式去解决实际问题 基础提升 教材核心知识点精练 【考点1】 实际问题与反比例函数 【例1-1】学校的自动饮水机，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降．此时水温（℃）与通电时间成反比例关系．当水温降至20℃时，饮水机再自动加热，若水温在20℃时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是（    ） A．水温从20℃加热到100℃，需要 B．水温下降过程中，y与x的函数关系式是 C．上午8点接通电源，可以保证当天9：30能喝到不超过40℃的水 D．水温不低于30℃的时间为 【答案】D 【分析】因为开机加热时，饮水机每分钟上升10℃，所以开机加热到100℃，所用时间为＝8min，故A不合题意，利用点（8，100），可以求出反比例函数解析式，故B不符合题意，令y＝20，则x＝40，求出每40分钟，饮水机重新加热，故时间为9点30时，可以得到饮水机是第三次加热，并且第三次加热了10 min，令x＝10，代入到反比例函数中，求出y，即可得到C不符合题意，先求出加热时间段时，水温达到30℃所用的时间，再由反比例函数，可以得到冷却时间时，水温为30℃时所对应的时间，两个时间相减，即为水温不低于30℃时的时间． 【详解】解：∵开机加热时每分钟上升10℃， ∴水温从20℃加热到100℃，所需时间为：＝8min， 故A选项不合题意； 由题可得，（8，100）在反比例函数图象上， 设反比例函数解析式为， 代入点（8，100）可得，k＝800， ∴水温下降过程中，y与x的函数关系式是， 故B选项不合题意； 令y＝20，则， ∴x＝40， 即饮水机每经过40 min，要重新从20℃开始加热一次， 从8点到9：30，所用时间为90 min， 而水温加热到100℃，仅需要8 min， 故当时间是9：30时，饮水机第三次加热，从20℃加热了10 min， 令x＝10，则℃＞40℃， 故C选项不符合题意； 水温从20℃加热到30℃所需要时间为：min， 令y＝30，则， ∴， ∴水温不低于30℃的时间为min， 故D选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握待定系数法确定函数解析式、灵活运用所学知识解决问题是解题的关键． 【例1-2】一列货车从北京开往乌鲁木齐，以58km/h的平均速度行驶需要65h．为了实施西部大开发，京乌线决定全线提速． 1）如果提速后平均速度为vkm/h，全程运营时间为t小时，试写出t与v之间的函数表达式； 2）如果提速后平均速度为78km/h，求提速后全程运营时间； 3）如果全程运营的时间控制在40h内，那么提速后，平均速度至少应为多少？ 解： 1）总路程为58×65＝3770 km，故提速后t与v之间的函数表达式为：t＝ 2）当v＝78km/h时，t＝＝48 h，答：提速后全程运营时间为48小时； 3）∵全程运营的时间控制在40h内，∴平均速度应为：v ≥ ＝94.25 km/h ， 答：提速后，平均速度至少应为94.25 km/h ． 【例1-3】张丽每天上学、放学都往返于她家和学校之间．已知她家离学校1 500 m，设她每天往返的速度为v m/min，从家到学校所用时间为t min． （1）请你写出t与v之间的函数解析式，并画出其函数图象； （2）星期一，她步行到学校，速度为80 m/min，赶到学校发现忘了带铅笔盒，于是借了一辆自行车回家去取，为了不耽误上课时间，她必须在10 min之内赶到家，那么她骑自行车的速度要比步行至少快多少？ 【答案】解：（1）根据题意，知v＝(t＞0)