4.4 数学归纳法-2023-2024学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（人教A版2019选择性必修第二册）

4.4：数学归纳法 【考点梳理】 考点一：数学归纳法 1．数学归纳法：一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n＝n0(n0∈N*)时命题成立； (2)(归纳递推)以当“n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立”为条件，推出“当n＝k＋1时命题也成立”． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．这种证明方法叫做数学归纳法． 2．数学归纳法的证明形式 记P(n)是一个关于正整数n的命题．我们可以把用数学归纳法证明的形式改写如下： 条件：(1) P(n0)为真；(2)若P(k)为真，则P(k＋1)也为真． 结论：P(n)为真． 3. 数学归纳法中的两个步骤 在数学归纳法的两步中，第一步验证(或证明)了当n＝n0时结论成立，即命题P(n0)为真；第二步是证明一种递推关系，实际上是要证明一个新命题：若P(k)为真，则P(k＋1)也为真．只要将这两步交替使用，就有P(n0)真，P(n0＋1)真……P(k)真，P(k＋1)真……，从而完成证明． 【题型归纳】 题型一：数学归纳法的定义 1．（2023下·河南驻马店·高二统考期中）用数学归纳法证明不等式：，从到时，不等式左边需要增加的项为（    ） A． B． C． D． 2．（2023下·上海·高二期中）数学归纳法证明“当为正奇数时，能被整除”，第二步归纳假设应写成（） A．假设正确，再推正确B．假设正确，再推正确 C．假设正确，再推正确 D．假设正确，再推正确 3．（2023下·上海·高二期末）用数学归纳法证明，从到，左边需要增乘的代数式为（　　） A． B． C． D． 题型二：数学归纳法证明恒等式 4．（2021下·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨三中校考期中）用数学归纳法证明：，当时，左式为，当时，左式为，则应该是（    ） A． B． C． D． 5．（2023上·高二课时练习）用数学归纳法证明以下恒等式： (1)； (2). 6．（2022·高二课时练习）设，求证：，分析下面证明过程，找出其中的错误. 证明：假设当时等式成立，即，那么，当时，有.因此，对于任何，等式都成立. 题型三：数学归纳法证明整除问题 7．（2022·高二课时练习）已知，存在自然数，使得对任意，都能使整除，则最大的的值为 ． 8．（2020上·高二课时练习）用数学归纳法证明34n＋2＋52n＋1能被14整除的过程中，当n＝k＋1时，34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1应变形为 . 9．（2022·四川眉山·统考三模）将①，，②，③，之一填入空格中（只填番号），并完成该题. 已知是数列前n项和，___________. (1)求的通项公式； (2)证明：对一切，能被3整除. 题型四：数学归纳法证明数列问题 10．（2020上·浙江台州·高三校联考期中）数列满足，则以下说法正确的个数（    ） ① ②； ③对任意正数，都存在正整数使得成立 ④ A．1 B．2 C．3 D．4 11．（2023上·高二课时练习）设数列的各项均为正整数，且．记．如果对于所有的正整数均有． (1)求，，，，； (2)猜想的通项公式，并加以证明． 12．（2023上·上海黄浦·高二格致中学校考阶段练习）数列满足为正整数. (1)试确定实数的值，使得数列为等差数列； (2)当数列为等差数列时，等比数列的通项公式为，对每个正整数，在和之间插入个2，得到一个新数列，设是数列的前项和，试求满足的所有正整数. 题型五：数学归纳法证明不等式 13．（2019下·山西吕梁·高二统考期末）给出下列不等式： ， ， ， ， （1）根据给出不等式的规律，归纳猜想出不等式的一般结论； （2）用数学归纳法证明你的猜想. 14．（2022下·河南南阳·高二邓州市第一高级中学校校考期末）设，，． (1)当时，试比较与1的大小； (2)根据（1）的结果猜测一个一般性结论，并加以证明． 15．（2019下·江苏苏州·高二统考期中）已知m，n为正整数． (1)用数学归纳法证明：当时，； (2)对于，已知，求证，； (3)求满足等式的所有正整数n． 【双基达标】 一、单选题 16．（2023下·陕西西安·高二期中）用数学归纳法证明“”时，第二步应假设（    ） A．当时，成立 B．当时，成立 C．当时，成立 D．当时，成立 17．（2023下·北京房山·高二统考期末）用数学归纳法证明，从到，左边需要增加的因式是（    ） A． B． C． D． 18．（2023下·四川成都·高二校考阶段练习）用数学归纳法证明“对任意的，都有，第一步应该验证的等式是（    ） A． B． C． D． 19．（2023下·四川成都·高二四川省成都列五中学校考阶段练习）用数学归纳法证明（，