第十三章 轴对称 最短路径12个常见模型及练习 2023-2024学年人教版八年级数学上册

第十三章 轴对称 最短路径12个常见模型总结 最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径。 算法具体的形式包括以下这些情况： 1. 确定起点的最短路径问题：即已知起始结点，求最短路径的问题； 2. 确定终点的最短路径问题：与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题； 3. 确定起点终点的最短路径问题：即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径； 4. 全局最短路径问题：求图中所有的最短路径。 问题原型 “将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”。 涉及知识：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”。 出题背景：角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。 解题思路：找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。 12个基本问题： 最短路径例题解析 例题一：已知在平面直角坐标系中，A(2，-3），B(4,-1).(1) 若点P（x,0)是X轴上的动点，当三角形PAB的周长最短时，求X的值。(2) 若点C、D是X轴上的两个动点，且D（a，0），当四边形ABCD的周长最短时，求a的值；(3) 设M、N分别为X轴、Y轴的动点。问是否存在这样的点（m,0）和N（0，n）使得四边形ABMN的周长最短？若存在，请求出m、n。若不存在，请说明理由。 例题二： 最短路径专项练习 1．如图，已知正六边形ABCDEF的边长为2，G，H分别是AF和CD的中点，P是GH上的动点，连接AP，BP，则AP＋BP的值最小时，BP与HG的夹角(锐角)度数为________．21·cn·jy·com 2．已知，如图，在直线l的同侧有两点A，B. (1)在图1的直线上找一点P使PA＋PB最短； (2)在图2的直线上找一点P，使PA－PB最长． 3．如图均是由相同的小正方形组成的网格图，点A、B、C、D均落在格点上．请只用无刻度的直尺在格线CD上确定一点Q，使QA与QB的长度之和最小．21·世纪*教育网 4．如图，村庄A，B位于一条小河的两侧，若河岸a，b彼此平行，现在要建设一座与河岸垂直的桥CD，问桥址应如何选择，才能使A村到B村的路程最近？www.21-cn-jy.com 5．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠CAB，N点是AB上的一定点，M是AD上一动点，要使MB＋MN最小，请找点M的位置．21cnjy.com 6．如图，在△ABC的一边AB上有一点P. (1)能否在另外两边AC和BC上各找一点M、N，使得△PMN的周长最短？若能，请画出点M、N的位置，若不能，请说明理由；2·1·c·n·j·y (2)若∠ACB＝52°，在(1)的条件下，求出∠MPN的度数． 7．如图，已知∠AOB，点P是∠AOB内部的一个定点，点E、F分别是OA、OB上的动点． (1)要使得△PEF的周长最小，试在图上确定点E、F的位置． (2)若OP＝4，要使得△PEF的周长的最小值为4，则∠AOB＝________． 8．(兰州中考改编)如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使△周长最小，求∠AMN＋∠ANM的度数．【来源：21·世纪·教育·网】 9．已知：如图，在∠POQ内部有两点M、N，∠MOP＝∠NOQ. (1)画图并简要说明画法：在射线OP上取一点A，使点A到点M和点N的距离和最小；在射线OQ上取一点B，使点B到点M和点N的距离和最小；版权所有 (2)直接写出AM＋AN与BM＋BN的大小关系． 10、某中学八(2)班举行文艺晚会，桌子摆成如图所示两直排(图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了橘子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后到D处座位上，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短． 11、如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使△AMN周长最小，求∠AMN＋∠ANM的度数． 参考答案 1．60°　 2.(1)作点B关于直线l的对称点C，连接AC交直线l于点P，连接BP.点P即为所求．图略．(2)连接AB并延长，交直线l于点P.图略． 3.作B关于CD的对称点B′，连接AB′，交格线CD于Q，此时QA＋QB＝QA＋QB′＝AB′，根据两点之间线段最短，得此时QA＋QB最小． 4.①过点A作AP⊥a，并在AP上向下截取AA′，使AA′的长等于河的宽度；②连接A′B交b于点D；③过点D作DE∥AA′交a于点C；④连接AC.则CD即为桥的位置．图略．　 5.连接NC与AD的交点为M点．点M即为所求．图略．　 6.(1)①作出点P关于AC、BC的对称点D、G.②连接DG交AC、B