专题3.4 二元一次方程组的特殊解法（压轴题专项讲练）-2023-2024学年七年级数学上册压轴题专项讲练系列（沪科版）

专题3.4 二元一次方程组的特殊解法 【典例1】数学方法：解方程组：，若设，，则原方程组可化为，解方程组得，所以，解方程组得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法． （1）直接填空：已知关于x，y的二元一次方程组，的解为，那么关于m、n的二元一次方程组的解为： ． （2）知识迁移：请用这种方法解方程组． （3）拓展应用：已知关于x，y的二元一次方程组的解为，求关于x，y的方程组的解． 【思路点拨】 （1）设，，即可得，解方程组即可求解； （2）设，，则原方程组可化为，解方程组即可求解； （3）设，，则原方程组可化为，，根据的解为，可得，即有，则问题得解． 【解题过程】 解：（1）设，，则原方程组可化为， ∵的解为， ∴， 解得， 故答案为：； （2）设，，则原方程组可化为， 解得， 即有， 解得， 即：方程组的解为； （3）设，，则原方程组可化为， 化简，得， ∵关于x，y的二元一次方程组的解为， ∴，即有， 解得：， 故方程组的解为：． 1．（2023·全国·九年级专题练习）解方程组： 2．（2023·全国·九年级专题练习）解方程组： （1）； （2）； （3），求的值. 3．（2023·全国·七年级专题练习）阅读材料：善于思考的李同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法． 解：把，成一个整体，设，，原方程组可化为 解得：．∴，∴原方程组的解为． （1）若方程组的解是，则方程组的解是__________． （2）仿照李同学的方法，用“整体换元”法解方程组． 4．（2023春·浙江·七年级专题练习）阅读下列材料：  小明同学遇到下列问题： 解方程组，他发现如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错．如果把方程组中的（2x＋3y）和（2x—3y）分别看做一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程： 令m＝2x＋3y，n＝2x—3y，原方程组可以化为：，解得 把代入m＝2x＋3y，n＝2x—3y，得，解得 ∴原方程组的解为 请你参考小明同学的做法，解决下面的问题： （1）解方程组： （2）若方程组的解是，则方程组的解是 ． 5．（2022·全国·七年级假期作业）阅读以下内容： 已知有理数m，n满足m+n＝3，且求k的值． 三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路： 甲同学：先解关于m，n的方程组，再求k的值； 乙同学：将原方程组中的两个方程相加，再求k的值； 丙同学：先解方程组，再求k的值． （1）试选择其中一名同学的思路，解答此题； （2）在解关于x，y的方程组时，可以用①×7﹣②×3消去未知数x，也可以用①×2+②×5消去未知数y．求a和b的值． 6．（2023·全国·九年级专题练习）阅读材料：小强同学在解方程组时，采用了一种“整体代换”解法： 解：将方程②变形：，即…③，把方程①代入③得：即，把代入方程①，得，所以方程组的解为． 请你解决以下问题 （1）模仿小强同学的“整体代换”法解方程组； （2）已知x，y满足方程组 （i）求的值； （ii）求出这个方程组的所有整数解． 7．（2023春·浙江·七年级阶段练习）已知方程组，求的值． 小明凑出“”，虽然问题获得解决，但他觉得凑数字很辛苦！他问数学老师丁老师有没有不用凑数字的方法，丁老师提示道：假设，对照方程两边各项的系数可列出方程组它的解就是你凑的数！ （1）根据丁老师的提示，已知方程组，求的值． （2）已知，且，当为 时，为定值，此定值是 ．（直接写出结果） 8．（2023春·浙江·七年级专题练习）阅读下列解方程组的方法，然后解答问题： 解方程组时，由于x，y的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，不仅计算量大，而且易出现运算错误．而采用下面的解法则比较简单： ①﹣②得2x+2y=2，所以x+y=1③． ③×35﹣①得3x=﹣3． 解得x=﹣1，从而y=2． 所以原方程组的解是 （1）请你运用上述方法解方程组：； （2）猜测关于x、y的方程组（a≠b）的解是什么？并用方程组的解加以验证． （3）请你用类似方法解方程组：． 9．（2023春·全国·七年级专题练习）阅读下列材料： 小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：解方程组，小明发现如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程： 令，． 原方程组化为， 解得， 把代入，， 得， 解得． ∴原方程组的解为． 请你参考小明同学的做法解方程组： （1） （2） 10．（2023春·浙江·七年级专题练习）先阅读，再解方程组．