专题05 圆中的重要模型之圆中的外接圆和内切圆模型-2023-2024学年九年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（浙教版）

专题05 圆中的重要模型之圆中的外接圆和内切圆模型 模型1、内切圆模型 【模型解读】 内切圆：平面上的多边形的每条边都能与其内部的一个圆形相切，该圆就是该多边形的内切圆，这时称这个多边形为圆外切多边形。它亦是该多边形内部最大的圆形。内切圆的圆心被称为该多边形的内心。 三角形内切圆圆心：在三角形中，三个角的角平分线的交点是内切圆的圆心，圆心到三角形各个边的垂线段相等。正多边形必然有内切圆，而且其内切圆的圆心和外接圆的圆心重合，都在正多边形的中心。 【常见模型及结论】 1）三角形的内切圆模型 条件：如图1，⊙O为三角形ABC的内切圆（即O为三角形ABC的内心），⊙O的半径为r。 结论：①点O到三角形ABC的三边距离相等；②；③r=。 图1 图2 图3 2）直角三角形的内切圆模型 条件：如图2，⊙O为Rt的内切圆（即O为三角形ABC的内心），⊙O的半径为r。 结论：①点O到三角形ABC的三边距离相等；②；③r=； 3）四边形的内切圆模型 条件：如图3，⊙O是四边形ABCD的内切圆。 结论：。 例1．（2022秋·天津河西·九年级校考期末）如图，是的内切圆，若，则 ． 例2．（2023·浙江金华·九年级统考期中）如图，截三边所得的弦长相等，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 例3．（2023·四川宜宾·统考一模）《九章算术》卷九中记载：“今有勾三步，股四步，问勾中容圆径几何？”其大意是：“今有直角三角形勾（短直角边）长为3步，股（长直角边）长为4步，问该直角三角形能容纳的圆（内切圆）的半径是多少步？”如图是示意图，根据题意，该内切圆的半径为 ． 例4．（2023秋·浙江九年级课时练习）已知三角形的周长为12，面积为6，则该三角形内切圆的半径为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 例5．（2023·江苏南京·九年级校考阶段练习）如图，AB、BC、CD、DA都是⊙O的切线，已知AD＝2，BC＝5，则AB＋CD的值是 A．14 B．12 C．9 D．7 例6．（2023·福建福州·九年级校考期末）如图，的内切圆与两直角边、分别相切于点D、E，过劣弧（不包括端点D、E）上任一点P作的切线，与、分别交于点M、N，，，则的周长为 ． 例7．（2023·湖南常德·统考模拟预测）如图，是边长为的正三角形的内切圆，与边、均相切，且与外切，则的半径为 ．    例8．（2023·江苏宿迁·九年级校考阶段练习）如图，的内切圆与，，相切于点，，，已知，，，，则的长是（　　） A． B． C． D． 模型2、多边形的外接圆模型 【模型解读】 外接圆：与多边形各顶点都相交的圆叫做多边形的外接圆，通常是针对一个凸多边形来说的，如三角形，若一个圆恰好过三个顶点，这个圆就叫作三角形的外接圆，此时圆正好把三角形包围。 三角形外接圆圆心：即做三角形三条边的垂直平分线（两条也可，两线相交确定一点）。 【常见模型及结论】 1）三角形的外接圆模型 条件：如图1，⊙O为三角形ABC的外接圆（即O为三角形ABC的外心）。 结论：①OA=OB=OC；②。 图1 图2 图3 2）等边三角形的外接圆模型 条件：如图2，点P为等边三角形ABC外接圆劣弧BC上一点。 结论：①，PM平分；②PA=PB+PC；③； 3）四边形的外接圆模型 条件：如图3，四边形ABCD是⊙O的内接四边形。 结论：①；；②。 例1．（2022春·浙江·九年级专题练习）如图，点 O 是△ABC 的内心，也是△DBC 的外心．若∠A＝80°，则∠D 的度数是（    ） A．60° B．65 C．70° D．75° 例2．（2023·山东聊城·统考中考真题）如图，点O是外接圆的圆心，点I是的内心，连接，．若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 例3．（2023·湖北武汉·九年级阶段练习）如图，等腰△ABC内接于⊙O，AB=AC=4，BC=8，则⊙O的半径为 . 例4．（2023·广东广州·九年级校考期末）如图，在中，，．，I是的内心，则线段的值为（    ） A．1 B． C． D． 例5．（2022秋·浙江衢州·九年级统考期末）如图，在中，，以为直径的半圆分别交，于点，，连结，，．(1)求证：．(2)若，，求的长． 例6．（2023安徽中考数学一模卷）如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APB=∠CPB=60°． (1)判断△ABC的形