24.3 正多边形和圆（讲+练，四大题型）-【划重点】2023-2024学年九年级数学上册同步讲与练（人教版）

24.3 正多边形和圆 1.初步认识正多边形与圆的关系 2.理解正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形，会进行正多边形的有关计算 3.掌握等分圆周画圆内接正多边形的方法 知识点一 正多边形的有关概念 1. 正多边形 各边相等、各内角也相等的多边形叫做正多边形,如果一个正n边形有n（n≥3）条边，那么就叫正n边形. 2. 正多边形的判定 一个多边形必须同时满足各边相等和各角相等才能判定其是正多边形 3.圆内接正多边形的相关概念 名称 定义 正多边形的中心 一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心 正多边形的半径 正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径 正多边形的中心角 正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角 正多边形的边心距 正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距 即学即练1（2023下·吉林长春·九年级校考期中）如图为五星红旗上的一个五角星图案，将图案绕中心至少旋转度能与自身重合，则为（    ） A． B． C． D． 即学即练2（2023上·福建福州·九年级校考阶段练习）正n边形的中心角是30°，（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 知识点二 正多边形的对称性 1.轴对称性 所有的正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心 2.中心对称性 如果正多边形有偶数条边，那么它既是轴对称图形，又是中心对称图形，它的中心就是对称中心，如果正多边形有奇数条边,那么它只是轴对称图形,不是中心对称图形 即学即练（2023·江苏无锡·统考中考真题）下列命题：①各边相等的多边形是正多边形；②正多边形是中心对称图形；③正六边形的外接圆半径与边长相等；④正n边形共有n条对称轴．其中真命题的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 知识点三 正多边形的有关计算 (1)正n边形的每个内角都等于 (2)正n边形的每个中心角都等于 (3)正n边形的每个外角都等于 (4)弦长、弦心距与半径的公式 在垂径定理的运用中，常涉及弦长a,弦心距d,半径r,及弓形高h这四者之间的关系.有两个公式需要熟知并运用： 公式1： 公式2： 即学即练1 （2022上·江苏盐城·九年级统考期中）如图，点A、B、C、D为一个正多边形的顶点，点O为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（    ） A．10 B．12 C．15 D．20 即学即练2 （2023下·江苏苏州·九年级校考阶段练习）已知一个正多边形的中心角为，边长为5，那么这个正多边形的周长等于 ． 知识点三 正多边形的画法 要作半径为R的正n边形，只要把半径为R的圆周n等分，然后顺次连结各等分点即可 即学即练1 （2023秋·全国·九年级专题练习）如图，已知AC为的直径．请用尺规作图法，作出的内接正方形ABCD．（保留作图痕迹．不写作法） 即学即练2（2023秋·全国·九年级专题练习）已知正六边形ABCDEF，请仅用无刻度直尺，按要求画图： (1)在图1中，画出CD的中点G； (2)在图2中，点G为CD中点以G为顶点画出一个菱形． 题型1 求正多边形的中心角 例1（2022上·福建福州·九年级校考期中）“割圆术”是我国魏晋时期的数学家刘徽首创的计算圆周率的方法：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”，即随着边数增加，圆内接正多边形逐步逼近圆，进而可以用圆内接正多边形的面积近似表示圆的面积．设圆的半径为，则由圆内接正十二边形算得的圆周率约为（     ） A．3.14 B．3 C．3.1 D．3.141 举一反三1（2023上·北京·九年级北京市师达中学校考阶段练习）图中的五角星图案，绕着它的中心O旋转后，能与自身重合，则n的值至少是（    ） A．144 B．72 C．60 D．50 举一反三2（2022·福建泉州·校考模拟预测）将正五边形绕着它的中心O逆时针旋转时，点A的对应点为点，则的度数为 ． 题型2 已知正多边形的中心角求边数 例2（2023·上海·统考中考真题）如果一个正多边形的中心角是，那么这个正多边形的边数为 ． 举一反三1（2023·江苏南通·南通田家炳中学校考模拟预测）如图，内接于，，弦是圆内接正多边形的一边，则该正多边形的边数是 ． 举一反三2（2023上·甘肃庆阳·九年级统考期末）已知正多边形的中心角是，则这个多边形是正 边形． 题型3 正多边形和圆的综合 例3（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级统考期中）如图，正六边形内接于，的半径是1，则正六边形的周长是 ．    举一反三1（2023上·河北邢台·九年级校考期中）如图，正六边形