4.1 数列的概念-2023-2024学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（人教A版2019选择性必修第二册）

4.1数列的概念 【考点梳理】 考点一：数列及其有关概念 1．一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示……，第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示．其中第1项也叫做首项． 2. 数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}． 考点二：数列的分类 分类标准 名称 含义 按项的个数 有穷数列 项数有限的数列 无穷数列 项数无限的数列 考点三：函数与数列的关系 数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为an＝f(n)． 考点四：数列的单调性 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列 常数列 各项都相等的数列 考点五：通项公式 1．如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式． 2．通项公式就是数列的函数解析式，以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的数的函数． 考点六：数列的递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式． 考点七　数列的前n项和Sn与an的关系 重难点大规律归纳 1． 把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an. 2．an＝ (1)由于数列是特殊的函数，所以可以用研究函数的思想方法来研究数列的相关性质，如单调性、最大值、最小值等，此时要注意数列的定义域为正整数集或其有限子集{1,2，…，n}这一条件． (2)可以利用不等式组找到数列的最大项；利用不等式组找到数列的最小项． 【题型归纳】 题型一:数列的有关概念和分类 1．（23·24上·苏州）下列说法中正确的是（    ） A．如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列 B．数列1，0，，与，，0，1是相同的数列 C．数列的第k项为 D．数列0，2，4，6，可记为 2．（22·23上·平顶山·期末）下列有关数列的说法正确的是（    ） A．数列1，0，，与数列，，0，1是相同的数列 B．如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列 C．数列0，2，4，6，8，…的一个通项公式为 D．数列，…的一个通项公式为 3．（22·23上·广州·阶段练习）下列说法正确的是（    ） ①数列1，3，5，7与数列7，3，5，1是同一数列；②数列0，1，2，3...的一个通项公式为； ③数列0，1，0，1…没有通项公式；④数列是递增数列 A．①③ B．②④ C．②③ D．②③④ 题型二：判断或者写出数列的项 4．（23·24上·酒泉·期中）已知数列的一个通项公式为，且，则实数等于（    ） A．1 B．3 C． D． 5．（22·23下·沈阳·期中）在数列，，，，…，，…中，是它的（    ） A．第8项 B．第9项 C．第10项 D．第11项 6．（22·23上·重庆·期末）大衍数列0，2，4，8，12，18，…来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题，其通项公式为，则（    ） A． B． C．100 D．101 题型三：根据数列的单调性求数列的最大（小）项数 7．（22·23下·辽阳·期末）在数列中，，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 8．（22·23下·虹口·期中）已知数列，下列说法正确的是（    ） A．有最大项，但没有最小项 B．没有最大项，但有最小项 C．既有最大项，又有最小项 D．既没有最大项，也没有最小项 9．（22·23下·洛阳·阶段练习）已知数列的通项公式an＝，则数列的前30项中最大值和最小值分别是（    ） A．a10，a9 B．a10，a30 C．a1，a30 D．a1，a9 题型四：由递推公式求数列的指定项 10．（23·24上·酒泉·期中）“斐波那契”数列由十三世纪意大利数学家斐波那契发现，该数列满足递推关系：，．已知数列为“斐波那契”数列，为数列的前项和，若，则（    ） A． B． C． D． 11．（23·24上·龙岩·阶段练习）设数列中，，（且），则（  ） A．-1 B． C．2 D． 12．（23·24上·徐汇·开学考试）在数列中，若存在非零整数T，使得对于