23.3.3相似三角形的性质学案2023-2024学年华东师大版九年级数学上册

相似三角形的性质 【学习目标】 1.掌握相似三角形的对应高、中线、角平分线、周长的比与相似比的关系 2.掌握相似三角形的面积比与相似比的关系 3.能利用相似三角形的性质进行有关的计算 【学习重点】了解相似多边形的概念，探索相似多边形的周长比，面积比与相似比的关系. 【学习过程】 一、课前热身 1.两个三角形相似的简便判定方法有哪些？ （1） （2） （3） 2.在△ABC与△A′B′C′中，AB=10cm，AC=6cm，BC=8cm，A′B′=5cm，A′C′=3cm，B′C′=4cm，两个三角形相似吗？说明理由.如果相似，请写出他们的相似比. 二、自主学习 如果两个相似三角形的相似比为3:5，那么其对应边上的高之比为 ；对应角的平分线之比为 ;对应边上的中线之比为 ;周长之比为 ; 面积之比为 . 三、阅读探究 知识点1：相似三角形对应边上的高与相似比之间的关系 已知：如图,△ABC∽△A′B′C′且相似比为K，CD和C′D′是它们的对应高.求证：=K 证明：∵△ABC∽△A′B′C′（已知） ∴________=________（相似三角形对应角相等） 又∵________=________=90°（三角形高的定义） ∴_________∽________（两角对应相等的两个三角形相似） ∴=________=K（相似三角形对应边成比例） ★★结论：相似三角形对应边上的高之比等于相似比 知识点2：相似三角形对应角平分线与相似比之间的关系 已知:如图,△ABC∽△A′B′C′，相似比是K, CD和C′D′是它们的对应角的角平分线. 求证：=K 证明： 知识点3：相似三角形对应中线与相似比之间的关系 如图,△ABC∽ △ A′B′C′, 相似比为K, AD,A′D′分别为△ABC和△ A′B′C′的中线. 求证：AD ：A′D′=K 证明： 知识点4：相似三角形对应面积与相似比之间的关系 如图,△ABC ∽ △ A′B′C′, 相似比为=K， AD,A′D′分别为△ABC和△ A′B′C的高， 求证:Ｓ△ABC ：Ｓ△ A′B′C′=K 证明： ★★结论：1. 相似三角形对应边上高的比等于_________. 2. 相似三角形的对应角平分线的比等于相似比. 3. 相似三角形对应边上中线的比等于相似比. 4．相似三角形的周长比等于相似比 5．相似三角形的面积比等于相似比的平方. 核心提示：1.相似三角形的性质适用于相似三角形，一般三角形不具有此性质 2.相似三角形的性质揭示的是它们的对应线段，周长，面积与相似比的关系，在解决问题是要灵活运用 3.利用相似三角形的这些性质可以求线段长或求周长或求三角形的面积 四、点例分析 例1 在△ABC中,∠C=90°,D是AC上一点,DE⊥AB于E,若AB=10，BC=6,DE=2,求四边形DEBC的面积. 例2 三角形ABC是一块钝角三角形余料，边BC＝160mm,高AD＝80mm,要把它加工成长方形零件，长是宽的2倍，长方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个长方形零件的面积是多少？ 变式练习：如图△ABC是一块直角三角形余料，AC=60cm，BC=80m，现要把它加工成正方形零件，试说明下面两个加工方法中的哪一种的利用率较高？ 五、小结 1.本节课你学了那些知识： 2.在学习中运用了那些数学思想和方法： 六、当堂检测 1.△ABC∽△A′B